Ver que $\lim_{x \to \infty} \sum (-x)^n/n! = 0$

Question

Hay alguna forma de ver directamente la serie de energía que <span class="math-container">$$\lim{x \to \infty} \sum{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = 0$$? I realize that <span class="math-container">$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} e ^ {-x} = 0} $</span>. Es que no lo estoy pidiendo.</span>

Answer 1

Sólo trabajando con la serie y el producto de Cauchy que tenemos

<span class="math-container">$$\sum{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\sum{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum{n=0}^\infty\sum{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\frac{(-x)^{n-k}}{(n-k)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(x+(-x))^n}{n!} = 1$$</span>

y es fácil mostrar que como <span class="math-container">$x \to \infty$</span>

<span class="math-container">$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \to +\infty$$</span>

Por lo tanto,...