Se trata de dos conceptos distintos y poco relacionados (aunque no del todo).
Álgebra diferencial es el estudio de los anillos y campos diferenciales y las estructuras relacionadas. Permítanme mencionar brevemente algunas cosas sobre los campos diferenciales para darles una idea de lo que es el álgebra diferencial.
Un campo diferencial es un campo $\mathbb F$ junto con una función $\partial : \mathbb F \to \mathbb F$ , llamado derivación que satisface la regla del producto: $$\partial(xy) = \partial(x)y + x\partial(y)$$ Un elemento $x \in \mathbb F$ se llama constante del campo diferencial si $$\partial(x) = 0.$$ El conjunto de todas las constantes forman un subcampo del campo diferencial.
Un ejemplo de anillo diferencial es $\mathbb R(t)$ el campo de las funciones racionales en $t$ en $\mathbb R$ con la derivación $\frac{d}{dt}$ La diferenciación con respecto a $t$ . Las constantes de $\mathbb R(t)$ es $\mathbb R$ .
Los elementos del álgebra diferencial se utilizan, por ejemplo, en teoría diferencial de Galois y integración simbólica .
A sistema de ecuaciones algebraicas diferenciales es un sistema de ecuaciones en el que algunas ecuaciones son algebraicas y otras diferenciales. No es necesario que las ecuaciones sean polinómicas. Digo sistema de ecuaciones, porque si no es un sistema de ecuaciones, es decir, sólo hay una ecuación, será puramente algebraico o diferencial.
Un ejemplo de sistema DAE son las ecuaciones que describen los movimientos de un péndulo plano, con posición $(x,y)$ , velocidad $(u,v)$ todas las funciones del tiempo $t$ con la longitud $L$ : $$\begin{align} \dot x &= u \\ \dot y &= v \\ \dot u &= \lambda x \\ \dot v &= \lambda y - g \\ L^2 &= x^2 + y^2 \end{align}$$ como puedes ver, la última ecuación es algebraica y no diferencial.
Aquí he explicado la diferencia entre una EDO y una EDA: ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria implícita y una ecuación diferencial algebraica?
Como apunte, tu descripción de los DAE ("polinomios con coeficientes complejos y las variables desconocidas son $z,x,x'$ ") me hizo pensar en funciones holonómicas y aunque no son exactamente lo que has descrito, se acercan. Una función holonómica $y(t)$ es una función que satisface $$a_r(t) y^{(r)}(t) + a_{r-1}(t) y^{(r-1)}(t) + \dots a_1(t)y'(t) + a_0(t)y(t) = 0$$ donde cada $a_i(t)$ es un polinomio en $t$ .
