Así que usted ha $φ$ y quiere mostrar la continuidad de
$$F:Z×X\to Y\\ (z,x)\mapsto φ(z)(x)$$
La idea es escribir $F$ como la composición de dos mapas, es decir,
$$Z\times X\to C(X,Y)×X\to Y$$
donde el primer mapa es $\varphi×1_X$ que es continua por supuesto, y el segundo mapa es la evaluación de la$$ε:C(X,Y)×X\to Y\\ (f,x)\mapsto f(x)$$
Ahora $ε$ es continua, y la prueba es como sigue:
Tomar un punto de $(f,x)$ donde$f:X\to Y$$x\in X$, y considere la posibilidad de abrir barrio de $V$$ε(f,x)=f(x)$. Por la continuidad de $f$, hay una vecindad $U$ $x$ tal que $f[U]⊆V$. Por compacidad local de $X$, también hay un pacto de vecindad $K$$x\in K⊆U$. A continuación, $(K,V)×K$ es un barrio de $(f,x)$ tal que $ε(g,y)=g(y)\in V$$g\in(K,V)$$y\in K$. Por lo tanto $ε$ es continua.
Hay un contrario a esto: Dado un continuo $F:Z×X\to Y$, luego
$$\hat F:Z\to C(X,Y)\\ \hat F(z)(x)=F(z,x)$$
es continua. Para mostrar esto, vamos a $z\in Z$ $(K,V)$ una subbase barrio de $\hat F(z)$. A continuación, $\hat F(z)(x)\in V$ todos los $x\in K$, lo que
$\{z\}×K⊆F^{-1}[V]$ que está abierto. Por el Tubo Lema podemos encontrar una abierta $U$ tal que $\{z\}×K⊆U×K⊆F^{-1}[V]$. A continuación, $U$ es un barrio de $z$ tal que $\hat F[U]⊆(K,V)$.
Además, ahora que tenemos esta $\hat F$ podemos considerar
$$Z×X\xrightarrow{\hat F×1_X}C(X,Y)×X\xrightarrowεY$$ and we see that this gives us our original $F$, which means that turning $F$ into $\hat F$ is sort of a converse to turning a $φ:Z\C(X,Y)$ into $F$. Después de todo tenemos un bijection
$$C(Z,C(X,Y))\cong C(Z×X,Y)$$
Para obtener una imagen de cómo un mapa continuo $\phi:Z\to C(X,Y)$ parece, usted podría tomar como ejemplo el caso de $X=Y=Z=\Bbb R$. Un mapa de $\Bbb R\to\Bbb R$ puede ser considerado como una linea curva sin "saltos". Una función de $\Bbb R\to C(\Bbb R,\Bbb R)$ asigna a cada número real $z$ de dicha curva, vamos a denotar la función asignada a $z$$f_z$. Podemos poner estos $f_z$ lado a lado, de modo que la gráfica de $f_z$ "flota" por encima de la línea $\{z\}×\Bbb R$. Todos los mapas juntos dan una función de $\Bbb R×\Bbb R\to\Bbb R$, es decir, la función de $(z,x)\mapsto f_z(x)$. No hay ninguna razón por $F$ debe ser continua si $φ$ es meramente una función, pero la topología en $C(\Bbb R,\Bbb R)$ nos permite demanda continua de $φ$. Intuitivamente, $φ$ es continua si para pequeños cambios en la $z$, los mapas de $f_z$ no cambian drásticamente. Resulta que el compacto-abierta la topología es el adecuado. Los invito a averiguar lo que es un continuo $φ$ significa que si la topología en $C(\Bbb R,\Bbb R)$ es el producto de la topología. En realidad, en ese caso, esto hace que el mapa de $F$ sólo se continua en ambas coordenadas $z$$x$, pero no continua en general.
