Existe una factorización de polinomios de $x^4+3x^2+6$

Question

Así que según tengo entendido cada polinomio con coeficientes reales debe tener una factorización de polinomios de grado uno (en el caso de raíces reales) y grado dos (raíces complejas).

Pero he sido incapaz de encontrar tal factorización del polinomio $x^4+3x^2+6$. Con gp y Mathematicas Factor función obtener el polinomio original sólo como respuesta.

Mi pregunta es. ¿Existe una factorización?

Answer 1

$$x^4+3x^2+6= x^4+2\sqrt6x^2+6-(2\sqrt6-3)x^2=$ $$$=\left(x^2-\sqrt{2\sqrt6-3}x+\sqrt6\right)\left(x^2+\sqrt{2\sqrt6-3}x+\sqrt6\right)$ $

Answer 2

Deje $y=x^2$, entonces la solución de la ecuación cuadrática $y^2+3y+6=0$ da $y = \frac{1}{2}(-3 \pm i \sqrt{15})$.

Luego de problemas:

$$ x^2 = \frac{1}{2}(-3 + i \sqrt{15}) \implica x_{1,2} = \pm \frac{1}{2}\left(\sqrt{2\sqrt{6}-3}+\sqrt{2\sqrt{6}+3}\right) \\ x^2 = \frac{1}{2}(-3 - i \sqrt{15}) \implica x_{3,4} = \pm \frac{1}{2}\left(\sqrt{2\sqrt{6}-3}-i \sqrt{2\sqrt{6}+3}\right) $$

Tenga en cuenta que$x_3=\overline{x_1}$$x_4=\overline{x_2}$, por lo que ambos polinomios $(x-x_1)(x-x_3)$ $(x-x_2)(x-x_4)$ tiene coeficientes reales, que pueden ser fácilmente calculado una vez que conocer las raíces. Los dos polinomios son los cuadrática factores del polinomio original.