Resolución de PDE de segundo orden con Dirac Delta

Question

Quiero encontrar la forma funcional de la función verde G (x, t) para una ecuación diferencial parabólica:

PS

Entonces, me gustaría escribir la solución general de la ecuación de calor:

PS

donde f es una función fuente conocida.

Creo que necesito usar una transformada como la de Laplace o Fourier. ¿Cómo puedo manejar la función delta de Dirac en esta ecuación?

Answer 1

Usted puede separar las dimensiones. Comienza intentando encontrar una función $G(x,t)$ tal que

• $G(x,t)$ satisface las homogénea de la ecuación del calor en todo el espacio y el tiempo, excepto formalmente en $x=t=0$;
• En $t=0$, $G(x,t)$ es cero forall valores distintos de cero de a $x$;
• Para cualquier valor distinto de cero real $(a,b)$, $\int_{-|a|}^{|b} G(x,0) dx = 1$.

No estoy diciendo todavía que esta función será la de la función de Green que está buscando, pero digamos que encontrar una función de este tipo. Un ejemplo de la función sería algo como $$ G(x,t) = \frac{1}{4\pi\alpha} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4\alpha t}} $$ donde las potencias de 2 y $\pi$ son elegidos cuidadosamente para que todos los no-cero $t = t_0$, $$\int_{-\infty}^\infty G(x,t_0) dx = 1 $$ por lo tanto garantizar (al menos plausible) de que cuando se $t = 0$ integral permanece $1$. Y al $t=0$, desde fuera de $x=0$ la función es cero, sin embargo, es integral, es $1$, lo que significa que es un $\delta$-en función de una dimensión.

su labor sería si todas las fuentes de calor fueron instantáneos en $t=0$. Pero observe que la ecuación del calor es invariable en el tiempo, en el sentido de que se puede hacer una sustitución de $t' = t+\tau$ y el formulario sigue siendo el mismo.

Así que en términos de que $G(x,t)$ su solución general será: $$ h(x,y) = \int_{\tau = -\infty }^\infty \int_{x'=-\infty}^\infty f(x,\tau) G(x-x',t-\tau) dx' \, d\tau $$

Habrá problemas de estabilidad de la solución, ya que el problema está mal planteado si usted trata de encontrar las condiciones iniciales que conducen a la arbitraria futuro de calor distribuciones, por supuesto.

Answer 2

comienza con una ecuación homogénea $$ \frac{\partial{}G(x,t)}{\partial{}t} - \frac{\partial{}^2G(x,t)}{\partial{}x^2} =0 $$ la solución es $$ G(x,t) = \frac{\mathrm{exp}\left( -\frac{{{x}^{2}}}{ 4 \, a \, t}\right) }{\sqrt{t \; 2 \; \pi }}$$ El área debajo de la gráfica de la función es $$ A_t = \frac{\int_{-\infty }^{\infty }{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{4\cdot a\cdot t}}}dx}{\sqrt{2 \pi t}} = \sqrt{2 \pi} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{G(x,t)}{A_t} =\delta(t) $$

Observe que no hay ningún producto de delta.

A continuación, busca una solución en una forma de convolución

$$ T(x,t) = \int_{ -\infty }^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x' -x,\tau'-t) G(x',t') dx' \, dt' $$

y requiere que ambas satisfacen la misma ecuación.

Que es

$$ \frac{\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\left( \frac{d}{d\,t} \mathrm{f}\left( x-z,t-u\right) \right) {{e}^{-\frac{{{z z z}^{2}}}{4\cdot a\cdot u}}}}{\sqrt{u}}du}{\sqrt{2 \, \pi }}-\frac{a \int_{-\infty }^{\infty }\frac{\left( \frac{{{d}^{2}}}{d\,{{x}^{2}}} \mathrm{f}\left( x-z,t-u\right) \right) \cdot {{e}^{-\frac{{{z z z}^{2}}}{4\cdot a\cdot u}}}}{\sqrt{u}}du}{\sqrt{2\,\pi }}= \sqrt{2 \pi} \delta(x - z) $$