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Pregunta de mecánica clásica

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Un tobogán se desplaza a lo largo de la trayectoria ABC mostrada en el diagrama. La trayectoria se encuentra en un plano vertical y está formada por dos arcos de círculo $AB$ y $BC$ . La línea ABC es horizontal y no hay fricción entre el tobogán y la nieve. La resistencia del aire es despreciable y el tobogán puede tratarse como una partícula. La velocidad del tobogán en su punto más bajo es $U ms^{-1}$ . Encuentre el rango de valores de $U$ para el cual el tobogán alcanzará $C$ sin perder el contacto con la nieve.

No tengo ni idea de cómo hacer esta pregunta. Me he pasado media hora intentando averiguar cómo empezar. Finalmente hice esto: Averigué la distancia entre el punto más bajo del arco y la línea AB y traté de equiparar la pérdida de energía potencial gravitacional con la ganancia de energía cinética y usé eso para encontrar el valor de U como 7,32 (esto fue con la suposición de que la velocidad de la partícula como A era 0, que estoy bastante seguro de que es una suposición incorrecta). En fin, ahora estoy atascado y no tengo ni idea de qué hacer. Cualquier ayuda sería apreciada

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mfl Puntos 11361

En el punto que tienes dibujado la energía cinética es $E_k=\frac12 mU^2.$ Si suponemos que en este punto la energía potencial es cero, entonces $E=E_k+E_p=\frac12 mU^2,$ que es una constante, ya que no hay fricción ni resistencia del aire. Por lo tanto, a $B$ tenemos que $\frac12 mU^2=E=E_k+E_p=E_k+10mg.$ En el punto más alto que alcanza el tobogán (necesario para ir a $C$ ) es $\frac12 mU^2=E=E_k+E_p=E_k+20mg.$ Desde $E_k$ es no negativo en tal punto obtenemos que $U^2\ge 40,$ es decir, $U\ge 2\sqrt{10}m/s.$

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Sebastian Markbåge Puntos 3091

Dejemos que $r = 20$ sea el radio, y que $h$ sea la diferencia de altura entre el punto más bajo del arco $AB$ y el punto más alto del arco $BC$ y que $V$ sea la velocidad en el punto más alto del arco $BC$ . Dibujando algunos triángulos rectos y aprovechando la simetría, encontramos que: $$ h = 2(r - r\sin 60^{\circ}) = (2 - \sqrt 3)r $$ Por conservación de la energía, tenemos: $$ \frac{1}{2}mU^2 = mgh + \frac{1}{2}mV^2 \iff V^2 = U^2 - 2gh $$ Para llegar a duras penas $C$ Al menos necesitamos que $V \geq 0$ por lo que podemos encontrar nuestro límite inferior para $U$ de la siguiente manera: $$ U^2 - 2gh \geq 0 \iff U \geq \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.8)(2 - \sqrt 3)(20)} = 10.2487\ldots $$


Ahora en la parte superior del arco $BC$ tenemos la fuerza centrípeta: $$ mg - F_N = \frac{mV^2}{r} \iff V^2 = r(g - \tfrac{F_N}{m}) $$ Para alcanzar $C$ sin perder el contacto con la nieve, necesitamos que $F_N \geq 0$ por lo que podemos encontrar nuestro límite superior para $U$ de la siguiente manera: $$ U^2 - 2gh = V^2 = r(g - \tfrac{F_N}{m}) \leq rg - 0 \\\iff U \leq \sqrt{g(r + 2h)} = \sqrt{9.8(20 + 2(2 - \sqrt 3)(20))} = 17.3504\ldots $$ Por lo tanto, concluimos que: $$ 10.2487\ldots \leq U \leq 17.3504\ldots $$

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