¿Cómo son estas dos definiciones de la función $\sin x$ relacionadas con?

Question

La escuela de alta definición de la función seno se puede resumir en la siguiente imagen

Este artículo de la Wikipedia dice que la función del seno puede ser definido por la serie.

¿Cómo son estas dos definiciones relacionadas? (Ya que ambos definen la misma cosa, creo que debe ser "equivalente". Pero no veo por qué).

Mi segunda pregunta podría ser imprecisa: en la práctica, existen preocupaciones acerca de la definición que uno usa?

Answer 1

La definición geométrica de seno no es del todo satisfactoria de un riguroso punto de vista, porque se basa en el concepto de ángulo y en la geometría. Nada realmente malo, pero puramente analítica definición parece preferible, entonces, para hacer el análisis de la auto-contenida.

Si la definición geométrica es analíticamente sonido, entonces la serie de Taylor para la condición sine converge en toda la recta real. Así que puede directamente la función de definir el uso de la serie se debe expandirse.

Esto tiene varias ventajas, por ejemplo, no hay apelación a la intuición geométrica para el cálculo de la derivada (el conocido argumento de $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, que usa el área o longitud de arco); otra ventaja es la facilidad de extensión de la sinusoidal de números complejos así que para conseguir que en todos los casos la relación de Euler $$ e^{i}=\cos z+i\sen z $$ sólo por manipulación algebraica de (absolutamente) convergente la serie.

Answer 2

La definición de $sin(x)$ función es de hecho la misma como en su imagen.

Para entender la expansión de la serie de $sin(x)$, es necesario el cálculo. En caso de que usted no tiene cálculo todavía. Usted puede pensar en él como una aproximación por polinomios. Por ejemplo $sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}=0.5$.

Vamos a utilizar dos términos $x-\frac{x^3}{3!}$ donde $3!=3*2*1=6$. Tome $\pi\approx 3.1415$,$\frac{\pi}{6}\approx0.5236$,$x-\frac{x^3}{6}\approx=0.5236-\frac{(0.5236)^3}{6}=0.4997$, que está muy cerca de a $0.5$. Para un número general $x$, probablemente necesitará más términos para obtener una mejor aproximación. Si usted hace uso de todos los términos, resulta igual. Usted puede hacer algunos cálculos utilizando conocido el pecado que los valores tienen un sentimiento.

Answer 3

Otro punto: Si definimos $sin(x)= x- x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ \cdot\cdot\cdot+ x^n/n!+ \cdot\cdot\cdot$ entonces, diferenciar término por término, $(sin(x))'= 1- x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ \cdot\cdot\cdot+ x^{n-1}/(n-1)!+ \cdot\cdot\cdot$ y $(sin(x))'= -x+ x^3/3- x^5/5!+ \cdot\cdot\cdot+ x^{n-2}/(n-2)!= - sin(x)$. Es decir y = Sen (x), definido como que serie, satisface la ecuación diferencial [tex] y'' + y = 0 [/tex], con la condición inicial y(0) = 0. Y se muestra en el cálculo que y = Sen (x), con la definición generalmente también satisface la ecuación y el estado.