Si$A,B$ semidefinito simétrico positivo, muestre tr$(AB) \geq 0$

Question

Suponiendo que$V$ es un espacio vectorial de dimensiones finitas (sobre$\mathbb{R}$) de la dimensión$n$, y$A,B$ son asignaciones lineales definidas positivas simétricas de$V$ a$V$, ¿cómo puedo mostrar que en cualquier base ortonormal$\mathrm{tr}(AB) \geq 0$?

Noté que como son simétricas tenemos que$$\mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{ij}B_{ji} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{ij}B_{ij}$$ which is the sum of the elements of the element-wise product of $ A, B $. No sé si esto es útil.

Answer 1

Como han comentado otros, también puede suponer que$A$ y$B$ son matrices semidefinitas positivas. Podemos escribir$A = X^{t}X$ y$B = Y^{t}Y$ donde$X$ y$Y$ son matrices reales$n \times n$. Luego${\rm tr}(AB) = {\rm tr}(X^{t}X Y^{t}Y)$ =${\rm tr}((YX^{t})(XY^{t})).$ La última matriz tiene la forma${\rm tr}(UU^{t})$ para una% real$n \times n$ matriz$U$, y tal rastro es siempre no negativo.

Answer 2

Ya que esto puede ser una tarea, sólo voy a dar consejos.

1. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que $V=R^n$.

2. Trace es independiente de la base de utilizar. Por lo tanto basta mostrar esto en la base donde $A$ es diagonal.

3. Una positiva semi-definida matriz no negativa diagonal. Por qué?

4. Poner 1-3 juntos, uno debe mostrar que el $tr(AB)\geq 0$ donde $A$ es no negativo de la diagonal de la matriz y $B$ no negativo de la diagonal.