¿Por qué y cómo se comportan bien los espacios de moduli de los haces vectoriales (semi)estables?

Question

El pendiente de un haz vectorial E se define como mu(E) = deg(E)/rank(E). Entonces un haz vectorial E se llama semiestable si mu(E') ≤ mu(E) para todos los subfondos propios E'. Se denomina estable si mu(E') < mu(E).

He oído que los espacios de moduli de los haces vectoriales estables y semiestables son de alguna manera bien comportados, pero no sé por qué es así, ni sé exactamente qué debería significar bien comportado en este contexto. ¿Qué ocurre si intentamos considerar los módulos de haces vectoriales más generales? Además, las definiciones de pendiente y (semi)estable parecen un poco artificiales, ¿de dónde vienen?

Además, sólo he visto las definiciones anteriores en el contexto de haces vectoriales sobre curvas. ¿Por qué sólo curvas? ¿Deja de funcionar algo en dimensiones más altas o en una mayor generalidad?

Answer 1

Otra interpretación de "buen comportamiento" podría ser que la colección de semistable poleas con un polinomio de Hilbert es un almacén de la familia de las poleas. Esto es equivalente a decir que existe una coherente gavilla F con la propiedad de que todos los semistable poleas fijas de Hilbert polinomio P, todo puede ser realizada como un cociente de F. Véase 1.7 de Huybrechts y Lehn.

Comparar con el esquema de Hilbert: no, sólo tenemos que arreglar el polinomio de Hilbert, pero eso es porque toda la estructura de las poleas de subschemes vienen equipados con la estructura de un cociente de S_X. Así acotamiento de la familia de la estructura de las poleas es equivalente a la fijación de la polinomio de Hilbert.

Answer 2

Creo que "agradable" aquí significa "es una variedad cuasi-proyectiva".

En cuanto al porqué, la razón es la teoría de invariantes geométricos, que es más o menos una forma de ver los problemas de módulos, o acciones de grupos (que es más o menos lo mismo) y escoger un subconjunto del cociente (que en sí mismo sólo es bonito como pila) que es una variedad cuasi-proyectiva. Así que hay una definición general de puntos semi-estables para cualquier acción de un grupo algebraico afín que actúa sobre una variedad proyectiva con elección de incrustación proyectiva equivariante (depende de la elección de la incrustación) y el cociente de los puntos semi-estables es siempre una variedad cuasi-proyectiva.

Answer 3

Como no puedo comentar todavía, tendré que recomendar esto en una respuesta: El libro de Huybrechts y Lehn: "The Geometry of the Moduli Space of Sheaves" podría valer la pena. Me gustaron mucho las partes que leí.

Answer 4

Desde un punto de vista topológico, creo que la idea es que uno quiere tener un Hausdorff cociente de espacio. En otras palabras, considerar el espacio de todos los holomorphic estructuras fijos (topológico) vector paquete en una curva. Holomorphic estructuras pueden ser vistos como los operadores diferenciales en las secciones del paquete, de tal manera que una sección es holomorphic si y sólo si el operador evalúa a cero en la sección. (Véase, por ejemplo, las secciones 5 y 7 de Atiyah y Bott "El Yang-Mills ecuaciones sobre las superficies de Riemann.") Esto hace que el espacio de holomorphic estructuras (es decir, el espacio de paquetes con un fijo de tipo topológico) en un espacio afín. El grupo de complejo de automorfismos del paquete de actos en este espacio, y el cociente es el espacio de moduli de holomorphic paquetes. Si no restringir estable de los paquetes, este cociente espacio no es Hausdorff. Atiyah y Bott referencia esta a Mumford 1965 GIT libro. En realidad, dicen que el espacio de moduli de estabilidad de los paquetes es Hausdorff, debido al hecho de que las órbitas de estabilidad de los paquetes están cerrados. (Hmmm... que en realidad sólo dice que los puntos están cerrados en el cociente...) no sé cuánto de esto está escrito en Mumford; en particular, no sé si hay una evidencia en la literatura que el cociente de espacio no es Hausdorff.

Answer 5

Algunas de las razones por las que se estudian los paquetes en las curvas son:

• Es más fácil, por ejemplo, el espacio de las curvas en sí es bastante sencillo.

• Esperas alguna correspondencia con representaciones del grupo fundamental (de hecho, por Narasimhan-Seshadri los haces estables corresponden a reps irreducibles del grupo fundamental). Por cierto, acabo de aprender de wikipedia que se ha probado también para las superficies.