Estoy tratando de averiguar la razón de esta línea de deducción ( Es una prueba para la transformación de Householder en algún vector) $$\|\mathbf{v}-\mathbf{u}\|^2= \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle- \langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle-\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle+\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle = -2\langle\mathbf{v}-\mathbf{u},\mathbf{u} \rangle $$
¿Cómo dedujeron la primera y la segunda igualdad? ¿Utilizamos una ayuda geométrica para pensar en ello?
La primera igualdad: Por definición $\|\mathbf v-\mathbf u\|^2=\langle \mathbf v-\mathbf u,\mathbf v-\mathbf u\rangle$ y luego sólo tienes que expandirlo usando la linealidad del producto interno a la izquierda y a la derecha.
Lo segundo no es cierto en general, salvo si se parte de la base de que $\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle=\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle$ .
En el contexto mencionado en la pregunta, esa suposición es probablemente que $\langle v,v \rangle = \langle u,u \rangle = 1$ .
Gracias. Sí, la suposición de que $\langle \mathbf{v},\mathbf {v}\rangle =\langle \mathbf{u},\mathbf {u}\rangle $ es cierto. "Linealidad" era la palabra clave que me explicaba ambas deducciones. Una forma más completa de pensar en esto: Considere $ \langle \mathbf{v}-\mathbf {u}, \mathbf{a}-\mathbf {b} \rangle $ observar el producto de elementos de la primera fila, es decir $(v_{i} - u_{i})\times (a_{i} - b_{i}) = v_{i}a{i}- v_{i}b_{i}- u_{i}a_{i} +u_{i} b_{i}$ ... y entonces se puede deducir que en forma de producto punto
@tintinthong: Sí, pero la división en componentes sólo se aplica para el producto punto estándar. Si tienes un producto interno diferente, tienes que trabajar directamente con el axiomas para los productos internos, como $\langle a,b+c\rangle = \langle a,b\rangle +\langle a,c\rangle$ y así sucesivamente.
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+1 por mencionar el contexto; sin él, tu segunda igualdad sería muy confusa.
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Porque simplemente no es genial, hombre.