Partición en el gráfico de conexión de sí mismo y otra mitad

Question

Que $G=(V,E)$ sea un grafo con vértices de #% de #% % y grado mínimo $n$. Demostrar que existe una división de $\delta>10$ en dos subconjuntos disjuntos $V$ y $A$ así que $B$ y cada vértice de $|A|\leq O(\dfrac{n\ln\delta}{\delta})$ $B$ tiene de vecino en vecino del $\geq 1$de #% y % de $A$% #%.

[Fuente: el método probabilístico, Alon y Spencer]

Me gustaría configurar un argumento probabilístico aquí, pero no estoy seguro cómo comenzar.

Answer 1

Propongo este algoritmo para la partición:

1. Seleccione un sin asignar vértice y la puso en $A$.
2. Poner todos los no asignados a los vecinos de los vértices en $A$$B$.
3. Poner todos los no asignados a los vecinos de los vértices en $B$$A$.
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que no hay más avances. Si el gráfico tiene particiones, ya está hecho. Si no (en caso de varios componentes), volver a 1.

Esto no puede ser un argumento probabilístico, pero al menos es un argumento!

Edit: Uy, estoy totalmente perdido $|A| \leq O(\frac{n \ln \delta}{\delta})$. Tal vez esto iba a funcionar:

1. Seleccione un sin asignar vértice y la puso en $A$.
2. Poner todos los no asignados a los vecinos de los vértices en $A$$B$.
3. Seleccione un sin asignar vértice sin vecinos en $B$ y la puso en $A$.
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que no hay más avances. Si el gráfico tiene particiones, ya está hecho. Si no, repita los pasos 1 y 2 hasta que el gráfico está particionado.

Esto pondrá al menos $\delta$ veces el número de vértices en $B$ $A$ al principio, pero luego se va desvaneciendo. No estoy seguro de cómo asegurarse de que $|A| \leq O(\frac{n \ln \delta}{\delta})$, pero este es un punto de partida posible.