por qué es $\mathbb{C}P^n$ una retracción fuerte deformación barrio de $\mathbb{C}P^{n+1}$

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Un subespacio $A\subset X$ se dice que es un fuerte de vecindad-deformación se retracte de $X$, si hay una vecindad $U$ $A$ y un mapa continuo $h:U\times [0,1]\to U$ tal que

$h(u,0)=u$, $\;h(u,1)\in A$ y $h(a,t)=a$ todos los $u\in U$$(a,t)\in A\times [0,1]$. (Tenga en cuenta que esto no es exactamente la misma definición de $A$ fuerte deformación rectract en $X$ como se puede ver aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Retract .. sin Embargo, $A$ es una fuerte deformación de retractarse en $U$).

Considerar el complejo espacio proyectivo $\mathbb{C}P^n:=\mathbb{C}^{n+1}\setminus \{0\} /\sim$ donde $x,y\in \mathbb{C}^{n+1}\setminus \{0\}$ satisfacer $x\sim y$ $:\iff \exists \lambda\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ tal que $x=\lambda y$. Sé que $\mathbb{C}P^n\cong S^{2n+1}/x\sim \lambda x,\;\lambda\in S^1$.

Mi pregunta: ¿por Qué es $\mathbb{C}P^n$ un fuerte barrio-deformación de retracción de $\mathbb{C}P^{n+1}$? Necesito esta hecho para otros cálculos, pero no sé por qué esto es cierto.

Le agradezco su ayuda.

Edit: puedo usar ese $S^{n-1}$ es un fuerte barrio de deformación se retracte de $D^n$ ( $U=\mathbb{R}^n\setminus \{0\}$ ) ?

Answer 1

Puesto que el espacio proyectivo es un colector es suficiente para utilizar el hecho de que cualquier % submanifold cerrado $S\subset M$SNDR (en el ambiente múltiple $M$). Más específicamente, un barrio de $S$ $M$ será diffeomorphic a un paquete del vector y utilizando tal identificación se puede utilizar la estructura lineal para construir explícitamente una retracción de la deformación.

Answer 2

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$Deje $x = [x_{0}: x_{1} : \dots : x_{n}]$ ser homogénea coordenadas en $\Cpx\Proj^{n}$, identificar a $\Cpx\Proj^{n-1}$ con el locus $\{x_{0} = 0\}$, y deje $U$ ser el complemento del punto de $O = [1 : 0 : \dots : 0]$.

La asignación de $$ h(x, t) = [(1 - t)x_{0} : x_{1} : \cdots : x_{n}] $$ satisface las condiciones deseadas.

A ver geométricamente lo que esto hace, mira en $\Cpx^{n+1}$, $\Cpx^{n}$ representado por el hyperplane $\{x_{0} = 0\}$ $U$ el complemento de la $x_{0}$-eje. El mapa de $h$ continuamente (de hecho, sin problemas) se une a la identidad del mapa (en $t = 0$) a las coordenadas de la proyección de $\Cpx^{n+1}$ $\Cpx^{n}$(a $t = 1$), una.k.una. proyección de distancia de un punto (es decir,$O$$\Cpx\Proj^{n}$). Los puntos de la $x_{0}$-eje son precisamente aquellos cuya imagen es el origen (y por lo tanto no se defina un punto de $\Cpx\Proj^{n-1}$).