subgrupo de finito generado grupo resoluble es finitamente generado (prueba falsa)

Question

No puede encontrar un error en esa prueba:

Inducción por la longitud de series derivadas.

Base: Si el $[G, G]=e$ entonces el grupo es abeliano...

Suponga que la afirmación es cierta para n-1.

Tenemos grupo $G$ % de longitud de series derivadas $n$y un subgrupo $H$.

$[G, G]=G'$ ha derivado serie de longitud $n-1$, así $H \cap G'$ es finitamente generado.

$H/(H\cap G')$ es un subgrupo abelian finito generado subgrupo $G/G'$. Así $H$ es finitamente generado.

Answer 1

Para aplicar la hipótesis de inducción a $H\cap G'$, necesita $G'$ a ser finitamente generado. ¿Demostrar que el subgrupo derivado de un grupo finitamente generado soluble es necesariamente finito generado?

Sugerencia: el subgrupo conmutador de grupo libre de rango $2$ es libre de rango infinito; ¿Qué sucede si usted mod a $[G',G']$? Se obtiene el grupo metabelianos libre de rango $2$. Demostrar que su subgrupo del conmutador es abeliano libre de rango infinito.

Answer 2

Otro ejemplo es el grupo de Baumslag-Solitar $G=\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^2\rangle$ entonces el subgrupo normal generado por $y$ es $A=Z[1/2]$ (racionales de dos días) un Grupo abeliano generado infinitamente. En este caso $A=G'$ el subgrupo conmutador.

Answer 3

Usted está suponiendo implícitamente que el $G'$ es finitely generado, pero esto no tiene que ser el caso.

Por ejemplo, considere el lamplighter grupo $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$. Este grupo es un semidirect producto $\mathbb{Z}_2^\omega \rtimes \mathbb{Z}$ donde $\mathbb{Z}_2^\omega$ es la suma directa de un número infinito de copias de $\mathbb{Z}_2$, e $\mathbb{Z}$ actúa en $\mathbb{Z}_2^\omega$ por la traducción. Este grupo es claramente resueltos, y se tiene un estándar de dos elementos generación del sistema. Sin embargo, el colector de los subgrupos es una traducción invariante en el subgrupo de $\mathbb{Z}_2^\omega$, y por lo tanto no finitely generado.