Dejemos que $(F_p C_\bullet)_p$ sea un complejo filtrado de $R$ -módulos, con mapas en cadena $$\cdots \xrightarrow{}C_n\xrightarrow{d_n}C_{n-1}\xrightarrow{}\cdots$$ tal que $$\cdots \hookrightarrow F_pC_n\hookrightarrow F_{p+1}C_n\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow C_n$$ y $d_n(F_pC_n)\subseteq F_p C_{n-1}$ para todos $p$ y $n$ . A continuación, definimos la secuencia espectral $\{E^r_{p,q}\}_{p,q,r}$ de la siguiente manera:
$$E_{p,q}^r = \frac{ \{x\in F_pC_{p+q}\,\vert\,d_{p+q}x\in F_{p-r}C_{p+q-1}\} }{ F_{p-1}C_{p+q} + d_{p+q+1}(F_{p+r-1}C_{p+q+1})}$$ donde cotizamos por la intersección del denominador con el numerador, y dejamos que el mapa $$d_{p,q}^r:E_{p,q}^r\to E_{p-r,q+r-1}^r$$ ser inducido por $d_{p+q}:C_{p+q}\to C_{p+q-1}$ , de tal manera que $d_{p-r,q+r-1}^r\circ d_{p,q}^r=0$ . Entonces lo último que tenemos que comprobar para que sea una secuencia espectral es que $$E_{p,q}^{r+1} = \frac{\mathrm{ker\,} d_{p,q}^r}{\mathrm{im\,} d_{p+r,q-r+1}^r}$$ y aquí es donde estoy teniendo dificultades. Suponiendo que $[x]\in\ker d_{p,q}^r$ Entonces, ¿por qué debería ser que $d_{p+q}x\in F_{p-r-1}C_{p+q-1}$ ? Veo que debemos tener eso $$d_{p+q}x=y+d_{p+q}z$$ para algunos $y\in F_{p-r-1}C_{p+q-1}$ y $z\in F_{p-1}C_{p+q}$ pero no veo por qué debemos tener eso $$d_{p+q}z\in F_{p-r-1}C_{p+q-1}.$$ ¿Me estoy perdiendo algo?
