Demuestra que $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} \frac{n^{n+1}}{e^n} = \infty$$
¡Sin usar la aproximación de stirlings a n!
He intentado comparar esto con una secuencia divergente pero no ha funcionado. Además, no veo cómo utilizar L'Hospital o slmething como este.
Gracias de antemano.
Lemas:
Esta puede ser fácilmente demostrada por inducción: $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k} \right) = n+1$
Puedes intentar demostrar estas desigualdades tú mismo, ya que no es difícil: $\displaystyle \left (1+\frac{1}{k} \right )^k\leq e \leq \left (1+\frac{1}{k} \right)^{k+{1 \over 2}}\\$ . Sólo necesitaremos la segunda desigualdad, pero ambas son fácilmente demostrables tomando el logaritmo de ambos lados.
Ahora,
- Primero escribimos $n^n/n!$ de una manera mejor: $\displaystyle \frac{n^n}{n!}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k} \right)^n \cdot \prod_{i=1}^{n-1}\prod_{k=1}^{i} \left(1+\frac{1}{k} \right)^{-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k} \right)^n\cdot \prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{-(n-i)}=\prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{i}$
- Entonces, un límite inferior: $\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{i} \right)^{i} \geq \prod_{i=1}^{n-1}\left (e^{1} \cdot \left(1+\frac{1}{i}\right)^{-1/2} \right )=\frac{e^{n-1}}{\sqrt[2]{n}}$
- Finalmente, $\displaystyle {n^n \over e^n n!}\geq n^{-1/2}e^{-1} \Rightarrow {n^{n+1} \over e^n n!}\geq {n^{1/2} \over e}$ y hemos terminado.
$\frac{u_{n+1}}{u_n} >1$ no implica $u_n \to \infty$ . Cualquier secuencia convergente creciente satisface que.
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n!(n+1)^{n+1}(n+1)}{(n+1)!n^{n+1}e} = \left(1+\frac1n \right)^{n+1} \frac{1}{e}$$
$$ a_n = \frac{n^n}{n!\,e^n} < \frac{n^{n+1}}{n! \,\,e^n}$$ $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} \, e^n \, n!}{e^{n+1} (n+1)! n^n} = (1 + \frac 1n)^n \to e > 2 $$
$$ \exists\, n_0: \,\, \forall n > n_0 \,\, a_{n+1} > 2 a_n $$ $$ a_{n_0+p} > 2^p a_{n_0}\rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{n^{n+1}}{n!\,\, e^n} = \infty $$
@Joel no que muestra que la secuencia es decreciente, ya que $(1+1/n)^n$ ¿está aumentando? No es posible
Simplemente señalo un error algebraico al simplificar el cociente. Puedes comprobarlo tú mismo si quieres.
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No me gustan las preguntas del tipo "demuestra X sin usar Y" cuando usar Y lleva a una demostración obvia y directa. Tengo curiosidad por saber si hay alguna prueba sencilla para esto, ya que la expresión es sólo sobre $n^{1/2}$ .
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No están hechos para gustar. Mi profesor me pidió que lo probara sin Stirling, ¿qué puedo hacer?