Complementos ortogonales en espacios del Vector

Question

Si $V$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre cualquier campo de $F$, se define un producto interior en $V$ como un mapa de $\langle \,, \rangle\colon V\times V\rightarrow F$, satisfactorio

1. $\langle u,v+w\rangle =\langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle$;

2. $\langle u+v,w\rangle =\langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle$;

3. $\langle u,v \rangle =0 $ todos los $u\in V$ fib $v=0$;

4. $\langle u,v \rangle =0 $ todos los $v\in V$ fib $u=0$;

5. $\langle v,aw \rangle = \langle av,w \rangle = a\langle v,w\rangle$,

para todos $u,v,w\in W$, $a\in F$.

Con respecto a este producto interior, definimos el complemento ortogonal, $W'$, de un subespacio $W$ $V$ a ser el conjunto de $\{u\in V\colon \langle u,w \rangle=0 \forall w\in W \}$

Se puede demostrar que $dim(W')+dim(W)=dim(V)$. Pero, hemos tomado $F$ a campo arbitrario, puede suceder que $W\cap W'\neq 0$ (por lo tanto,$V\neq W\oplus W')$.

Pregunta: (con los supuestos anteriores en $V$, $F$) ¿existe un producto interior en $V$ tal que $W\cap W'=0$ para todos los subespacios $W$ $V$ (donde $W'$ es el complemento ortogonal de $W$ w.r.t. correspondiente producto interior)?

Answer 1

Deje $b$ $\mathbb C$- bilineal forma en $\mathbb C^2$. Escribir $b=s+a$ $s$ simétrica y $a$ anti-simétrica.

Hay un $s$-isótropo de la línea de $L$$\mathbb C^2$. Como $L$ $a$- isotrópica, es $b$-isotrópico.

Redacción alternativa: Hay una línea de $L$ $\mathbb C^2$ satisfacción $s(L,L)=0$. Como $L$ satisface también a $a(L,L)=0$, satisface $b(L,L)=0$.

En particular, se ha $L\subset L'$, lo $L\cap L'\neq0$.

EDIT. Para que la respuesta auto-contenida, aquí es una prueba de que el hecho de que un bilineal simétrica forma $s$ $\mathbb C^2$ admite una isotrópica línea:

Suponiendo que esto es falso, vamos a $L$ ser una línea en $\mathbb C^2$, y deje $L'$ ser su ortogonales. Tenemos $\mathbb C^2=L\oplus L'$. Hay vectores $v\in L$ $v'\in L'$ satisfacción $s(v,v)=1$$s(v',v')=-1$, e $v+v'$ es un valor distinto de cero isotrópica vector, contradicción.