Complexifying $\int \sec x dx$

Question

Estaba tratando de evaluar

$$\int \sec x dx \text{ using Complex Analysis }$$

Pensé en escribir como %#% $ de #% sin embargo, no puedo pensar en cómo proceder desde aquí. ¿Podría alguien por favor me ayude en la solución de esta Integral en la manera que lo he probado? De hecho sería muy agradecido por tu ayuda. ¡Muchas gracias!

$$\int \dfrac{1}{\Re(e^{\iota x})}$$

Nota: Un método similar para evaluar $$$:

$I=\int \cos x dx$$ $$\Re(e^{\iota x})=\cos x$$ $$\Longrightarrow \int \cos x dx = \Re \int e^{\iota x} dx$$

Answer 1

Una sugerencia:

Sustituir la definición de $\cos$ que:

$$ I = \int \frac{2}{e^{ix} + e^{-ix}} \, \mathrm{d}x = \frac{2}{i}\int \frac{i e^{ix}}{(e^{ix})^2 + 1} \, \mathrm{d}x = - 2 i \arctan e^{ix}$$

A continuación, puede utilizar la definición de la inversa tangente cuando el argumento es complejo.

PD: Simplificación debe conducir a un resultado real.