Cómo probar esta desigualdad $n-1+\sum_{i=1}^{n}\frac{x^2_{i}}{x_{i+1}}\ge\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i+1}-x_{i}+1}$

Question

Deje $x_{i}>0(i=1,2,\cdots,n)$,y tal $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$,muestran que $$n-1+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{x^2_{i}}{x_{i+1}}\ge\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i+1}-x_{i}+1}\tag{1}$$ donde $x_{n+1}=x_{1}$

Yo tengo uso de Cauchy-schwarz desigualdad $$LHS\ge n-1+\dfrac{(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})^2}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}=n$$ entonces creo que tal vez ha $$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i+1}-x_{i}+1}\le n?$$ Pero es una lástima que finalmente me enteré de uso de C-S $$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i+1}-x_{i}+1}\ge\dfrac{(1+1+\cdots+1)^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i}+1)}=n$$

Hasta el momento, todavía no puedo resolver este problema (1).

Answer 1

En primer lugar, restar $n$ de ambos lados para obtener:

$$LHS = \sum_{i=1}^n\dfrac{x_i(x_i-x_{i+1})}{x_{i+1}}\geq\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i-x_{i+1}}{x_{i+1}-x_i+1} = RHS.$$ Ahora resta de la RHS de la PREPA:

$$LHS-RHS = \sum_{i=1}^n(x_i-x_{i+1})\left(\dfrac{x_i}{x_{i+1}} - \dfrac{1}{x_{i+1}-x_i+1}\right) = \sum_{i=1}^n\dfrac{(x_i-x_{i+1})^2(1-x_i)}{x_i(x_{i+1}-x_i+1)}\geq 0.$$