Uno de nuestros conjuntos de problemas de este trimestre en análisis nos pidió que nos muestran que $\ell^2$, el conjunto de todos los cuadrados summable secuencias, es completa. En el momento, me esforcé para probar esto, pero tengo una idea después de leer en Rudin los Principios. Mi idea es usar la convergencia uniforme de una sucesión de funciones continuas y cambiar el orden de los límites. Por favor, hágamelo saber lo que necesito hacer la siguiente; he visto muchas preguntas aquí en StackExchange, similar a este, donde la contestadora faldas de la pregunta de este intercambio de límites, y me gustaría si alguien podía responder con tantos epsilons como sea necesario para obtener la cosa resuelta de una vez por todas.
Hemos demostrado que $\ell^2$ es un interior-espacio del producto, y tiene una norma $\lVert \mathbf x\rVert^2 = \sum_{n\ge 1} x_n^2$. A un paso del proceso es llegar con un candidato límite de una secuencia de Cauchy, y podemos hacer esto con bastante facilidad. Deje $(\mathbf x_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $\ell^2$$\mathbf x_n = x_{n,1},x_{n,2},x_{n,3},\dotsc$. Podemos organizar las secuencias de $\mathbf x_n$ en un infinito matriz cuadrada $(x_{i,j})$, y muestran sin mucho problema que fija $j\in \mathbf N$ la secuencia de $(x_{i,j})_{i\in\mathbf N}$ es de Cauchy (las columnas de la variedad infinita de las mismas son de Cauchy).
Para cada uno de ellos fijo $j\in \mathbf N$, y con $m,n$ suficientemente grande, $|x_{n,j}-x_{m,j}|\le\lVert \mathbf x_n-\mathbf x_m\rVert < \varepsilon$, ya que el $(\mathbf x_n)$ es de Cauchy. Desde $\mathbf R$ es completa, puesto $y_j = \lim_{n\to\infty}x_{n,j}$. Pretendemos que $\mathbf y = y_1,y_2,y_3,\dotsc$$\ell^2$$\mathbf x_n\to \mathbf y$. Por la inversa de la desigualdad del triángulo, lo suficientemente grande para $m,n\in\mathbf N$, $|\lVert \mathbf x_n\rVert-\lVert\mathbf x_m\rVert| \le \lVert \mathbf x_n-\mathbf x_m\rVert < 1$ por el criterio de Cauchy, de modo que desde $\lVert \mathbf x_m\rVert = C < \infty$,$\lim_{n\to\infty}\lVert \mathbf x_n\rVert \le C + 1 < \infty$.
Queremos mostrar que $\sum_{j=1}^\infty y_j^2 < \infty$, y esto es lo que yo quiero hacer eso. Para cada una de las $n=1,2,\dotsc$, puesto $f_n:\mathbf N\to \mathbf R$ a ser la función de $f_n(k) = \sum_{j=1}^kx_{n,j}^2$. Cada función de $\mathbf N$ $\mathbf R$es continua, por lo $(f_n)$ es una secuencia de funciones continuas. Ahora, $\sum_{j=1}^\infty y_j^2 = \lim_{k\to\infty}\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^kx_{n,j}^2 = \lim_{k\to\infty}\lim_{n\to\infty}f_n(k)$. Si sólo pudiera intercambio de estos límites, entonces tendría $\sum_{j=1}^\infty y_j^2 = \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^\infty x_{n,j}^2 = \lim_{n\to\infty}\lVert \mathbf x_n\rVert^2 < \infty$, como ya vimos. Mis pensamientos son que, como $k\to\infty$, $f_n(k)\to \lVert \mathbf x_n\rVert^2$, y como $n\to\infty, f_n(k)\to\sum_{j=1}^ky_j^2$, y que este último convergencia es uniforme (se trata de una suma finita, por lo que la convergencia uniforme no debería ser difícil de demostrar es mi reacción visceral). Por lo tanto, si la ponemos a $f(k) = \sum_{j=1}^k y_j^2$, $f_n\to f$ uniformemente en $\mathbf N$, así que podemos intercambiar el orden de los límites, al igual que en Rudin del teorema 7.11.
No estoy seguro de si esto es correcto, especialmente la parte donde estoy afirmando $f_n\to f$ uniformemente en $\mathbf N$. Si alguien pudiera ayudar a enderezar esto, yo estaría muy agradecido.
Edit soy consciente de que esto no es todo lo que tiene que decir para justificar su integridad. Mi pregunta principal es la rigurosa justificación de la conmutación de los límites.
