Schwarz Reflexión Principio -- Cartografía a través de líneas horizontales

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Supongamos que una función completa de mapas de dos líneas horizontales en otras dos líneas horizontales. Demostrar que su derivada es periódica.

El autor proporciona una sugerencia: Suponga $f = u+iv$ mapas de las líneas de $y=y_1$ $y=y_2$ a $v=v_1$$v=v_2$$y_2-y_1 = c$$v_2-v_1 = d$. Muestran entonces que $f(z+2ci)+f(z)+2di$ todos los $z$.

Estoy tratando de aplicar el Schwarz reflexión principio para resolver este problema.

Lo que he hecho hasta ahora:

Si dejamos $\gamma$ ser la analítica arco dado por la primera línea, $x+iy_1$. Entonces, la reflexión de $x+iy_2$$\gamma$$x+i(y_1-c)$, o

$$w = \gamma(x+ic) = x+i(y_1+c) = x+iy_2 \\ w^* = \gamma(x-ci) = x+i(y_1-c).$$

Ahora, lo que queremos es que el $f(z+2ci) = f(z)+2di$. Tome $z = w^*$, lo $z+2ci = w$.

Entonces, tenemos $f(z+2ci) = f(w) = f(w^*) + 2di$.

Entonces, tenemos que calcular el $f(w^*)$ y demostrar que es igual a la reflexión de la imagen de $w$ bajo$f$$\lambda := f(\gamma) = u+iv_1$.

Pero estoy atascado en dónde ir desde aquí.

Esto es incluso el enfoque correcto? Yo estoy tomando para un determinado $z$... claro que esto puede no funcionar para todos los $z$...

Answer 1

Supongamos que el origen de las líneas horizontales se $\mathrm{Im}(z)=a$ $\mathrm{Im}(z)=b$ y el destino de líneas horizontales se $\mathrm{Im}(z)=c$$\mathrm{Im}(z)=d$.

Las funciones de $g(z)=f(z+ia)-ic$ $h(z)=f(z+ib)-id$ son de entera funciones que el mapa de la línea real de la línea real. Por el Schwarz Reflexión Principio, obtenemos $$\begin{align} f(z+ia)-ic=g(z)=\overline{g(\bar{z})}=\overline{f(\bar{z}+ia)}+ic\tag{1a}\\ f(z+ib)-id=h(z)=\overline{h(\bar{z})}=\overline{f(\bar{z}+ib)}+id\tag{1b} \end{align}$$ El uso de $(1a)$$(1b)$, obtenemos $$\begin{align} f(x+iy) &=f(x+i(y-a)+ia)\\ &=\overline{f(x-i(y-a)+ia)}+2ic\tag*{by %#%#%}\\ &=\overline{f(x-i(y-2a+b)+ib)}+2ic\\ &=f(x+i(y-2a+b)+ib)+2ic-2id\tag*{by %#%#%}\\ &=f(x+iy+2i(b-a))+2i(c-d)\tag{2} \end{align}$$ Que es $$f(z+2i(a-b))=f(z)+2i(c-d)\etiqueta{3}$$ Tomando la derivada de la $(1a)$ rendimientos $$f'(z+2i(a-b))=f'(z)\etiqueta{4}$$ Por lo tanto, $(1b)$ es periódica.