Estoy atascado en el siguiente problema:
Supongamos que una función completa de mapas de dos líneas horizontales en otras dos líneas horizontales. Demostrar que su derivada es periódica.
El autor proporciona una sugerencia: Suponga $f = u+iv$ mapas de las líneas de $y=y_1$ $y=y_2$ a $v=v_1$$v=v_2$$y_2-y_1 = c$$v_2-v_1 = d$. Muestran entonces que $f(z+2ci)+f(z)+2di$ todos los $z$.
Estoy tratando de aplicar el Schwarz reflexión principio para resolver este problema.
Lo que he hecho hasta ahora:
Si dejamos $\gamma$ ser la analítica arco dado por la primera línea, $x+iy_1$. Entonces, la reflexión de $x+iy_2$$\gamma$$x+i(y_1-c)$, o
$$w = \gamma(x+ic) = x+i(y_1+c) = x+iy_2 \\ w^* = \gamma(x-ci) = x+i(y_1-c).$$
Ahora, lo que queremos es que el $f(z+2ci) = f(z)+2di$. Tome $z = w^*$, lo $z+2ci = w$.
Entonces, tenemos $f(z+2ci) = f(w) = f(w^*) + 2di$.
Entonces, tenemos que calcular el $f(w^*)$ y demostrar que es igual a la reflexión de la imagen de $w$ bajo$f$$\lambda := f(\gamma) = u+iv_1$.
Pero estoy atascado en dónde ir desde aquí.
Esto es incluso el enfoque correcto? Yo estoy tomando para un determinado $z$... claro que esto puede no funcionar para todos los $z$...
