Resolver la ecuación trigonométrica: $1 = m \; \text{cos}(\alpha) + \text{sin}(\alpha)$

Question

Tratar con un Problema de física me sale el siguiente ecuación a resolver para $\alpha$

$1 = m \; \text{cos}(\alpha) + \text{sin}(\alpha)$

Poner esto en Mathematica da el resultado:

$a==2 \text{ArcTan}\left[\frac{1-m}{1+m}\right]$

Sin embargo soy incapaz de obtener este resultado a mí mismo. No importa lo que yo trato normal de la ecuación de transformaciones o reescribir la ecuación con el complejo e-Función ..., todo falla. Incluso yendo en la otra Dirección, de Mathematica Solución a mi ecuación original se tradujo en nada sensato.

Cualquier ayuda de cómo hacer esta transformación es muy apreciada.

Gracias de antemano

Answer 1

Agregado: Como se explica en los comentarios, ciertas ecuaciones trigonométricas tales como las ecuaciones lineales en $\sin x$ $\cos x$ puede ser resuelto por un resolvent ecuación cuadrática. Es un método para escribir la $\sin x$ $\cos x$ funciones en términos de la misma función trigonométrica. Dado que todos los [directo] las funciones trigonométricas de la simple ángulo puede ser expresado de manera racional como una función de la $\tan$ de la media de ángulo, conversión, es adecuada para estas ecuaciones.

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Ya que $$\cos \alpha =\frac{1-\bronceado ^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\bronceado ^{2}\frac{% \alpha }{2}}$$

y

$$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+\bronceado ^{2}% \frac{\alpha }{2}}$$

su ecuación

$$m\cos \alpha +\sin \alpha =1$$

es equivalente a

$$m-m\tan ^{2}\frac{\alpha }{2}+2\tan \frac{\alpha }{2}=1+\tan ^{2}\frac{\alpha }{2}.$$

Uno puede establecer $x=\tan \frac{\alpha }{2}$ ($\alpha =2\arctan x$), y así obtener la ecuación cuadrática

$$\left( 1+m\right) x^{2}-2x+1-m=0.$$

Sus soluciones son: $x=\frac{1}{m+1}\left( -m+1\right) $ (si $m\neq -1$) o $% x=1$ (if $m=-1$), lo que da

i) Si $m\neq -1$,

$$\alpha =2\arctan x=2\arctan \frac{1-m}{m+1},$$

ii) Si $m=-1,$

$$\alpha =2\arctan 1=\frac{\pi }{2}.$$

Una técnica diferente para resolver una ecuación lineal en la $\sin \alpha $ y $\cos \alpha $ is to use an auxiliary angle $\varphi $. If you set $m=\tan \varphi de dólares, la ecuación toma la forma

$$\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1$$

o

$$\sin (\alpha +\varphi )=\cos \varphi =\frac{1}{\pm \sqrt{1+\bronceado ^{2}\varphi }}=\pm \sqrt{\frac{1}{1+m^{2}}},$$

y obtener

$$\alpha =\pm \arcsin \sqrt{\frac{1}{1+m^{2}}}-\arctan m.$$

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Detallada de derivación: de $m\cos \alpha +\sin \alpha =1$ e $m=\tan \varphi $, obtenemos

$$\sin \alpha +\tan \varphi \cdot \cos \alpha =1\iff\sin \alpha +\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }\cdot \cos \alpha =1$$

$$\ffi\dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \varphi +\sin \varphi \cdot \cos \alpha }{\cos \varphi }=1\ffi\dfrac{\sin \left( \alpha +\varphi \right) }{\cos \varphi }=1$$

$$\iff\sin \left( \alpha +\varphi \right) =\cos \varphi .$$

La identidad

$$\cos \varphi =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}$$

puede ser obtenida de la siguiente manera

$$\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1\iff\dfrac{\sin ^{2}\varphi }{\cos ^{2}\varphi }+1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }$$

$$\iff\tan ^{2}\varphi +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\varphi }\iff\cos ^{2}\varphi =\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }.$$

Por lo tanto

$$\sin \left( \alpha +\varphi \right) =\pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}\iff\alpha +\varphi =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2}\varphi }}\right) $$

$$\iff\alpha +\arctan m=\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right) \qquad (m=\tan \varphi,\ \varphi =\arctan m)$$

y, finalmente,

$$\alpha =\arcsin \left( \pm \sqrt{\dfrac{1}{1+m^{2}}}\right) -\arctan m.$$

Answer 2

Considere la ecuación $$a\cos t+b\sin t=c$$ como una ecuación de $t$. Aquí $a$ $b$ son números reales, no ambos cero. El truco para solucionar este problema es dividir por $\sqrt{a^2+b^2}$ para obtener $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos t+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ equivalentemente, $$a'\cos t+b'\sin t=c'$$ donde ahora se $a'^2+b'^2=1$. Esto significa que $(a',b')$ se encuentra en el círculo unidad. No es entonces un ángulo de $u$, de modo que $(a',b')=(\cos u,\sin u)$. La ecuación se convierte en $$\cos u\cos t+\sin u\sin t=c',$$ que es $$\cos(t-u)=c'.$$ Vemos que hay una solución para $t$ fib $|c'|\le1$. En general, cuando el $|c'|<1$ hay exactamente dos soluciones para $t$ modulo $2\pi$.

(Todo esto es Un estándar de nivel de matemáticas.)

Answer 3

Ya que estamos añadiendo diferentes pruebas, aquí es una forma geométrica, para el caso especial cuando $m > 0$ $\alpha$ es aguda.

Utilizamos la Ley de las Tangentes que los estados, que en un triángulo

la identidad

$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}$$

sostiene.

Ahora considere el siguiente triángulo

Tenemos $\displaystyle \angle{BCA} = \alpha$, $\displaystyle \angle{CBA} = \pi/2$ y $\displaystyle \angle{CAB} = \pi/2 - \alpha$.

ABC es un ángulo recto del triángulo con $\displaystyle AC = 1 = m\cos\alpha + \sin \alpha$. Punto de $\displaystyle D$ es elegido en $\displaystyle AC$ tal que $\displaystyle AD = \sin \alpha$$\displaystyle DC = m\cos \alpha$. También tenemos $\displaystyle BC = \cos \alpha$$AB = \sin \alpha$.

Ahora $\displaystyle AD = \sin \alpha = AB$ $\triangle ABD$ es isoceles y, por tanto,$\displaystyle \angle{ABD} = \angle{ADB} = \pi/4 + \alpha/2$.

Así tenemos que

$\displaystyle x = \angle{CDB} = 3\pi/4 - \alpha/2$ $\displaystyle y = \angle{CBD} = \pi/4-\alpha/2$

Ahora aplicar la ley de las tangentes a $\displaystyle \triangle BCD$.

Tenemos

$$\frac{\cos \alpha - m\cos\alpha}{\cos\alpha + m\cos\alpha} = \frac{\tan (x/2 - y/2)}{\tan(x/2 + y/2)}$$

$$ = \frac{\tan(\pi/4)}{\tan(\pi/2 - \alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$$

Así

$$\frac{1-m}{1+m} = \tan(\alpha/2)$$

Answer 4

Otro:

$$\begin{eqnarray} \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha} &=& m \\ \frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} &=&m \\ \tan\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) &=& m \\ \frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan\frac{\pi}{4} \tan\frac{\alpha}{2}} = \frac{1-\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan\frac{\alpha}{2}} &=& m \\ \Longrightarrow \tan\frac{\alpha}{2} &=& \frac{1-m}{1+m} \end{eqnarray} $$