Continua, selfadjoint y compacto?

Question

Hell0 allí!

Tengo que mostrar si el operador $$ T\colon L^2(\mathbb{R})\L^2(\mathbb{R}), f\mapsto\chi_{[0,1]}f $$ es continuo, selfadjoint y compacto. Tengo problemas para mostrar la compacidad.

Pero primero permítanme mostrarles mis pruebas relativas a los otros dos puntos:

1.) $T$ de hecho es continua, porque son los siguientes:

$$ \lVert Tf\rVert_{L^2}=\int\limits_{\mathbb{R}}\lvert\chi_{[0,1]}(x)f(x)\rvert^2\, dx=\int\limits_0^1\lvert f(x)\rvert^2\, dx\leq\int\limits_{\mathbb{R}}\lvert f(x)\rvert^2\, dx=\lVert f\rVert_{L^2} $$

2.) $T$ es selfadjoint:

$$ \langle Tf,g\rangle_{L^2}=\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\chi_{[0,1]}(x)\overline{g(x)}\, dx=\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\overline{\chi_{[0,1]}(x)g(x)}\, dx=\langle f,T^*g\rangle_{L^2} $$

y, por tanto, el adjunto del operador está dado por $f\mapsto\chi_{[0,1]}f$ $T$ sí.

3.) Compacidad:

Ahora no sé cómo mostrar si $T$ es compacta o no. Hay dos diferentes criterios de compacidad que sería útil aquí (a mi opinión):

(a) Mostrar que la unidad de la bola es relativamente compacto.

(b) Mostrar que para cada delimitada secuencia $(f_n)$ la secuencia de $(Tf_n)$ tiene un convergentes larga.

Cual es el mejor para usar aquí?

Saludos y pasar un buen rato

math12

Answer 1

Consideremos el subespacio $H\subseteq L^2$ definido por $H=\{f\in L^2: Tf=f\}\cong L^2[0,1]$. Se puede demostrar que los $T|_H$ no es compacto como un operador en $H$, y que una restricción de un operador compacto es compacto. (O puede argumentar directamente por la elección de la secuencia mencionada en el punto 3.)(b) de $H$.) De infinitas dimensiones normativa espacios como $H$ siempre han delimitado las secuencias sin convergente subsecuencias, y en este caso usted puede encontrar algunos bastante simples ejemplos concretos.

En general, los subespacios propios de un operador compacto correspondientes a autovalores distintos de cero debe ser finito dimensional, porque la identidad del operador en un infinito dimensional normativa espacio no es compacto.