Estoy teniendo un poco de problemas para resolver esta integral: $$\int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}dx$$
Aquí está mi intento de solución:
Yo multiplica el numerador y el denominador de $\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}$$\sqrt{x}$, produciendo $$\int\frac{\sqrt{x-x^x}}{x}dx.$$ Una mayor simplificación resultado en $$\int\frac{\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}}{x}dx.$$ Mediante sustitución trigonométrica, me puse $$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin\theta$$ and solving for the differential $dx$ got $$dx=\frac{1}{2}\cos\theta.$$ Substituting this all back into $\int\frac{\sqrt{\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}{x}dx$ (and some simplification later) yielded $$\frac{1}{2}\int{\frac{{cos}^2\theta}{sin\theta+1}}d\theta.$$ By substituting $1-sin^2\theta$ for $cos^2\theta$ I obtained $$\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sin\theta+1}-\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta+1}d\theta}.$$ El problema que estoy teniendo que está tratando de resolver esta integral resultante. Si hay un método más fácil para resolver el problema, que sería aceptado con benevolencia.
