Método de la posición dominante del equilibrio y la perturbación

Question

Aproximar las soluciones de $$\epsilon x^4 + (x-1)^3=0$$

No es posible realizar una de perturbaciones singulares porque si dejo $\epsilon=0$, a continuación, voy a perder la raíz. Mi profesor sugiere El Método Dominante de Equilibrio para este tipo de problemas, pero yo realmente no sé cómo continuar con ese método.

Si alguien podía ayudarme a comenzar, entonces yo podría hacer el resto de arce.

Gracias

Answer 1

Si nosotros, ingenuamente, simplemente envíe $\epsilon \to 0$, a continuación, obtenemos la ecuación

$$ (x-1)^3 = 0, $$

por lo que podemos deducir que tenemos tres raíces tienden a $x=1$$\epsilon \to 0$. Vamos a suponer que han asintótica de la serie de la forma

$$ x \aprox 1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \delta_k(\epsilon), $$

donde

$$ 1 \gg \delta_1(\epsilon) \gg \delta_2(\epsilon) \gg \delta_3(\epsilon) \gg \cdots $$

como $\epsilon \to 0$.

Si sustituimos los dos primeros términos de $x \approx 1 + a_1 \delta_1(\epsilon)$ en la ecuación original

$$ \epsilon x^4 + (x-1)^3 = 0 \etiqueta{$*$} $$

y ampliar tenemos

$$ a_1^4\epsilon\delta_1(\epsilon)^4 + 4a_1^3\epsilon\delta_1(\epsilon)^3 + a_1^3\delta_1(\epsilon)^3 + 6a_1^2\epsilon\delta_1(\epsilon)^2 + 4a_1\epsilon\delta_1(\epsilon) + \epsilon \aprox 0. $$

Ahora vamos a aplicar el método de la posición dominante del equilibrio. En primer lugar, hay ciertos términos que, por supuesto, más pequeño que los demás, por lo que no podía ser parte de una posición dominante en el equilibrio y puede ser ignorado. Específicamente sabemos que

$$ a_1^4\epsilon\delta_1(\epsilon)^4 \ll 4a_1^3\epsilon\delta_1(\epsilon)^3 \ll 6a_1^2\epsilon\delta_1(\epsilon)^2 \ll 4a_1\epsilon\delta_1(\epsilon) \ll \epsilon, $$

así que, si hacemos caso de todos, pero el más grande de estos, a continuación, la ecuación se convierte en

$$ a_1^3\delta_1(\epsilon)^3 + \epsilon \aprox 0. $$

De esto podemos ver que

$$ \delta_1(\epsilon) = \epsilon^{1/3} \quad \text{y} \quad a_1^3 = -1, $$

y con tres opciones para $a_1$---es decir, las tres raíces cúbicas de $-1$---obtenemos aproximaciones para cada una de las tres raíces de la ecuación original tienden a $x=1$:

• $x \approx 1 - \epsilon^{1/3}$,
• $x \approx 1 + e^{i\pi/3} \epsilon^{1/3}$, y
• $x \approx 1 + e^{i5\pi/3} \epsilon^{1/3}$.

Esto sugiere que podría ser capaz de tomar

$$ \delta_k(\epsilon) = \epsilon^{k/3}, \quad k \geq 1, $$

y, de hecho, si sustituimos

$$ x \aprox 1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \epsilon^{k/3} $$

en $(*)$ y recoger los poderes de $\epsilon$, a continuación, obtenemos las ecuaciones para los coeficientes $a_k$,

• $a_1^3 + 1 = 0$,
• $3 a_2 a_1^2+4 a_1 = 0$,
• $3 a_3 a_1^2+6 a_1^2+3 a_2^2 a_1+4 a_2 = 0$, etc.

Sólo queda encontrar la última raíz de $(*)$. Si nos limitamos a ampliarla tenemos

$$ \epsilon x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0. \etiqueta{$**$} $$

Vamos a volver a utilizar el método de la posición dominante del equilibrio. Haciendo caso omiso de la $\epsilon x^4$ plazo en el principio esencialmente supuse que no sería parte de una posición dominante en el equilibrio, así que para encontrar la última raíz debemos suponer lo contrario. Como ejemplo vamos a buscar equilibrios entre el $\epsilon x^4$ y el resto de los cuatro términos, por lo que vamos a considerar los casos

1. $\epsilon x^4 \asymp 1$,
2. $\epsilon x^4 \asymp 3x$,
3. $\epsilon x^4 \asymp 3x^2$, y
4. $\epsilon x^4 \asymp x^3$.

En el caso 1 tenemos $x \asymp \epsilon^{-1/4}$, pero entonces, el término se $3x$, siendo la $\asymp \epsilon^{-1/4}$, domina los términos de $\epsilon x^4$ $1$ en el saldo, por lo que el equilibrio no es dominante.

En el caso de $2$ tenemos $x \asymp \epsilon^{-1/3}$, pero entonces, el término se $-3x^2$, siendo la $\asymp \epsilon^{-2/3}$, domina ambos términos en el equilibrio, por lo que el equilibrio no es más dominante.

En el caso de $3$ tenemos $x \asymp \epsilon^{-1/2}$, pero entonces, el término se $x^3$, siendo la $\asymp \epsilon^{-3/2}$, domina ambos términos en el equilibrio, es decir,$\epsilon x^4$$x^2$, que se $\asymp \epsilon^{-1}$.

En el caso de $4$ tenemos $x \asymp \epsilon^{-1}$, y este equilibrio es dominante desde

$$ \epsilon x^4 \asymp x^3 \asymp \epsilon^{-3} \gg 3x^2 \gg 3x \gg 1. $$

Ignorando los términos fuera de la balanza tenemos

$$ \epsilon x^4 + x^3 \aprox 0, $$

así que

$$ x \aprox - \epsilon^{-1}. $$

Podríamos entonces la sospecha de que esta raíz tiene un asintótica de la serie de la forma

$$ x \aprox -\epsilon^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty} a_k \epsilon^k, $$

y si sustituimos esto en $(*)$ o $(**)$ y recoger los poderes de $\epsilon$ obtenemos las ecuaciones para los coeficientes $a_k$,

• $a_0+3 = 0$,
• $3 a_0^2+6 a_0-a_1-3 = 0$,
• $-3 a_0^3-3 a_0^2+6 a_1 a_0+3 a_0+6 a_1-a_2-1 = 0$, etc.

Hemos contabilizan para todas las cuatro raíces de la ecuación polinómica y se puede calcular como muchos de los términos de su asintótica de la serie como deseamos.

Answer 2

Deje $\epsilon=\tau^3$, entonces podemos resolver la ecuación

$$0=\tau^3 x^4 + (x-1)^3$$

Hay 4 raíces. Al $\tau \to 0$, están dados por:

$$x_1=-3-\frac{1}{\tau^{3}}$$ $$x_2=1-\tau$$ $$x_3=1+\left(\frac{1}{2}-i\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\tau$$ $$x_4=1+\left(\frac{1}{2}+i\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\tau$$