Integral usando el teorema de los residuos (tal vez)

Question

Me encontré con la siguiente integral en un libro (Kato de la Teoría de la Perturbación Lineal Operadores, $\S$3.5):

$\int_{-\infty}^\infty (a^2+x^2)^{-n/2}\,dx$

donde $n$ es un entero no negativo y $a$ es un no número real negativo.

De acuerdo a WolframAlpha y el libro, la respuesta es

$\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{a^{n-1}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$

Traté de convertirlo en una integral de contorno (un semi-círculo en la mitad superior del plano -) y usando el teorema de los residuos, pero mi respuesta no salen correctamente. Me pregunto si he cometido un error de cálculo, o si lo estoy haciendo es fundamentalmente errónea.

Answer 1

Vamos a ver:

$$ \int_{-\infty}^\infty \big(a^2 + x^2\big)^{-\frac{n}{2}} dx = a^{1-n} \int_{-\infty}^\infty \big(1 + x^2\big)^{-\frac{n}{2}} dx = \frac{2}{a^{n-1}} \int_0^\infty \big(1 + x^2\big)^{-\frac{n}{2}} dx $$

Ahora, la Función Beta $$ \text{B}(\xi\eta) = \frac{\Gamma(\xi)\Gamma(\eta)}{\Gamma(\xi+\eta)} $$

tiene el conocido representación integral${}^1$

$$ \text{B}(\xi\eta) = \int_0^\infty \frac{t^{\xi-1}}{(1 + t)^{\xi+\eta}} dx $$

así

$$ \int_0^\infty \big(1 + x^2\big)^{-\frac{n}{2}} dx = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{t^{-1/2}}{(1 + t)^{n/2}} dt $$

\begin{align} \xi - 1 &= -\tfrac{1}{2}\\ \xi + \eta &= \tfrac{n}{2} \end{align}

por lo tanto $\xi = \frac{1}{2}$$\eta = \frac{n - 1}{2}$. Entonces

$$ \int_{-\infty}^\infty \big(a^2 + x^2\big)^{-\frac{n}{2}} dx = \frac{1}{a^{n-1}} \frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\tfrac{n - 1}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{n}{2}\right)} = \frac{\sqrt{\pi} \, \Gamma\left(\tfrac{n - 1}{2}\right)}{a^{n-1} \Gamma\left(\tfrac{n - 1}{2}\right)} $$

${}^1$ Ver Lebedev de Funciones Especiales Y Sus Aplicaciones para obtener más detalles.