Las pruebas del Libro - necesitan una rápida explicación

Question

He estado recientemente la lectura de este libro sorprendente, a saber, el capítulo sobre el postulado de Bertrand, que por cada $n\geq1$ hay un primer $p$ tal que $n<p\leq2n$.

Como un resultado intermedio, que demuestren que $\prod_{p\leq x}p \le 4^{x-1}$ real $x\geq2$, donde el producto es tomado todos los números primos $p\leq x$ . A la vez que comprueban que, se basan en la desigualdad $$ \prod_{m+1<p\le2m+1}p\leq\binom{2m+1}{m}, $$ donde $m$ es un número entero, $p$'s son números primos.

Ellos lo explican por la observación de que todos los números primos que nos interesan están contenidas en $(2m+1)!$, pero no en $m!(m+1)!$. La última parte es lo que no entiendo.

Puedo entender cómo se puede aplicar este principio a la enlazado $(2m+1)!/(m+1)! = (m + 2)\ldots(2m+1)$, pero ¿por qué de forma segura divida esto por $m!$?

Gracias!

Answer 1

No está seguro de si va a analizar demasiado para la última parte?

Si nos fijamos en la desigualdad $$ \prod_{m+1<p<=2m+1}p\leq\binom{2m+1}{m}, $$

vemos que para cualquier prime $p \in (m+1,2m+1]$, $p|(2m+1)!$ pero $p\nmid m!$$p \nmid (m+1)!$. ["La última parte" que usted menciona es simplemente porque $p > m+1$.]

Por lo $p$ es de hecho un factor del numerador de $\binom{2m+1}{m}$, pero no en su denominador, lo que demuestra la desigualdad.

Answer 2

La respuesta a la última pregunta es que ${a\choose b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}$ es conocido por ser un número entero, por todos los números enteros $a, b$ satisfacción $a\ge b\ge 0$. La razón es que está contando el número de formas de elegir los $b$ $a$ objetos. Esto es necesariamente un entero.