Una consecuencia del lema de Schwarz

Question

Supongamos que para algunos $\epsilon>0$ la función de $f$ es holomorphic en $B(0,1+\epsilon)$ tal que $f(a) = 0$ $|f(z)|\leq1$ si $|z| \leq 1$. Probar para $|z| \leq 1$:

$$|f(z)|\leq \left|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\right|.$$

He intentado utilizar el lema de Schwarz, que establece que en la unidad de la esfera, si $f(0) = 0$$|f(z)|\leq1$$|f(z)|\leq |z|$.

Creo que me estoy perdiendo aquí un smart traducción o algo, algún consejo?

Answer 1

Considere la función :$h(z)=\frac{f(z)}{\varphi(z)}$: $\varphi(z)=\frac{z-a}{1-\overline az}$. Desde $f(a)=0$, $h(z)$ es analítica en $B(0,1+ϵ)$ y debido al $|z|=1$, tenemos: $|\varphi(z)|=1$, podemos escribir: $|h(z)|=|f(z)|$ por cada número complejo que: $|z|=1$. A partir de aquí: $|h(z)|\le 1$ por cada número complejo que: $|z|\le 1$. Por lo tanto: $|f(z)|\le |\frac{z-a}{1-\overline az}|$.