Límite para una relación de recurrencia

Question

¿Cómo puedo encontrar un límite para esta secuencia definida recursivamente?

$$a_0>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+2}{3a_{n}+2}$$

Me interesan especialmente las respuestas que implican conceptos como las secuencias contractivas y los puntos fijos.

Muchas gracias.

Answer 1

Utilice la relación de recurrencia

$$ a_{n+1} - a_{n} = \frac{a_n +2 }{ 3 a_n +2} - \frac{a_{n-1} +2}{3 a_{n-1} +2 } = \frac{4(a_{n-1} -a_{n})}{(3 a_{n-1} +2)(3 a_n +2)}. $$

Desde $$ 3 a_n = 3 \frac{a_{n-1} +2 }{3 a_{n-1} +2} > 1 + \frac{1}{a_{n-1}+1} >1, \quad\forall n\geq 1, $$

se deduce que $$ |a_{n+1} - a_{n}| < \frac{4}{9} |a_{n} - a_{n-1}|. $$

La iteración da $$ |a_{n+1} - a_{n}| < \left(\frac{4}{9}\right)^n |a_{1} - a_{0}|. $$

La serie $\sum_{n=1}^\infty (a_{n+1}-a_n)$ de términos positivos, está dominada por la serie convergente $|a_1-a_0| \sum_{n=1}^\infty (4/9)^n$ y así converge. Tenemos $\sum_{n=1}^\infty (a_{n+1}-a_n)= \lim_{n\to \infty} a_n - a_1$ lo que demuestra que el límite existe.

Entonces, para encontrar a los puntos fijos podemos pasar al límite en la relación de recurrencia $$ a_{\infty}= \frac{a_{\infty}+2}{3 a_{\infty} +2}, $$

lo que lleva a $a_{\infty}= 2/3.$

Answer 2

Un poco de juego muestra que el límite "debería" ser $\frac{2}{3}$ . Por lo tanto, es natural calcular $a_{n+1}-\frac{2}{3}$ . Obtenemos $$a_{n+1}-\frac{2}{3}=\frac{a_n+2}{3a_n+2}-\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}-a_n}{3a_n+2}.$$ Así, $$\left|a_{n+1}-\frac{2}{3}\right|=\left|a_n-\frac{2}{3}\right|\frac{1}{3a_n+2}.$$ En particular, $$\left|a_{n+1}-\frac{2}{3}\right|\lt \frac{1}{2}\left|a_n-\frac{2}{3}\right|.$$ Así que con cada iteración nuestra distancia de $\frac{2}{3}$ se reduce en un factor de al menos $\frac{1}{2}$ . De ello se desprende que $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{3}$ .

Answer 3

Hay dos puntos fijos, $\frac23$ y $-1$ . Veamos la estabilidad cerca de cada uno de ellos.

Dejemos que $$ f(x)=\frac{x+2}{3x+2}\tag{1} $$ Entonces $$ f'(x)=-\frac43\frac1{(3x+2)^2}\tag{2} $$ Desde $f'\left(\frac23\right)=-\frac13$ y $f'(-1)=-\frac43$ , $\frac23$ es un punto fijo estable, $|f'(x)|\lt1$ y $-1$ es un punto fijo inestable, $|f'(x)|>1$ .

Vamos a investigar el punto fijo estable. La definición recursiva centrada en $\frac23$ se convierte en $$ \left(a_n-\tfrac23\right)=-\frac{\left(a_{n-1}-\tfrac23\right)}{3\left(a_{n-1}-\tfrac23\right)+4}\tag{3} $$ Tenga en cuenta que si $a_{n-1}\gt0$ entonces $3\left(a_{n-1}-\tfrac23\right)+4\gt2$ . Así, $(3)$ implica que $$ \left|a_n-\tfrac23\right|\lt\tfrac12\left|a_{n-1}-\tfrac23\right|\tag{4} $$ $(4)$ garantiza la convergencia.

Answer 4

Arreglar $c\in(0,3^{-1})$ y demostrar que el mapa $$ \varphi_c:[c,+\infty)\to[c,+\infty):x\mapsto\frac{x+2}{3x+2} $$ está bien definida y lo que es más $$ |\varphi_c(x)-\varphi_c(y)|\leq\frac{4}{(3c+2)^2}|x-y| $$ Por lo tanto, se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que $\varphi_c$ tienen un único punto fijo en $[c,+\infty)$ y este es el punto es $2/3$ .

Como este punto fijo es el mismo para todos los $c$ y $f|_{[c,+\infty)}=\varphi_c$ entonces $f$ tiene un único punto fijo en $(0,+\infty)$

Answer 5

$1$ . Primero demuestre que $a_n \in (0,1)$ utilizando la inducción.

$2$ . Ahora bien, si $a_0 < \dfrac23$ utilizando la inducción, demuestre que $a_n$ es una secuencia monótona creciente limitada por encima de $\dfrac23$ .

$3$ . $\vert \vert \vert^{ly}$ , si $a_0 > \dfrac23$ utilizando la inducción, demuestre que $a_n$ es una secuencia monótona decreciente limitada por debajo por $\dfrac23$ .

$4$ . Ahora recuerda el la integridad de $\mathbb{R}$ / teorema de la secuencia monótona para concluir que el límite existe.

$5$ . Ahora utilice las leyes límite para demostrar que si $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ entonces $$L = \dfrac{L+2}{3L+2}$$

$6$ . Resuelve la cuadrática para obtener que $L = \dfrac23$ .