¿Cuál es la diferencia entre la semántica y sintáctica integridad?

Question

Es evidente para mí lo que la diferencia entre la consistencia sintáctica y coherencia semántica.

Una teoría de la $T$ sintácticamente es consistente si no existe ninguna fórmula $\phi$ en el idioma de tal manera que ambos $\phi$ $\neg \phi$ son demostrables.

Una teoría de la $T$ es semánticamente consistente si se tiene un modelo. Si $T$ tiene un modelo, existe una interpretación donde todas las fórmulas de $T$ son verdaderas.

Sin embargo, no entiendo la diferencia entre la integridad sintáctica y semántica integridad. Mi entendimiento de las dos propiedades es:

Una teoría de la $T$ es sintácticamente completa si para cada fórmula $\phi$ en el lenguaje de la teoría, $\phi$ o $\neg \phi$ es demostrable.

Una teoría de la $T$ es semánticamente completa si, en cada interpretación, cada cierto fórmula $\phi$ es demostrable.

No entiendo cómo sintáctica integridad puede ser falso, mientras que la semántica integridad pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Entiendo que esto es cierto (es cierto que en los de primer orden de la teoría de la que es objeto de Gödel del teorema de la incompletitud), yo no ver cómo es que no siempre son verdaderas al mismo tiempo.

Answer 1

Tome $T$ a ser predicado de la lógica de la igualdad. Cualquier oración que es verdadera en todo modelo de $T$ es comprobable (por Gödel integridad del teorema), por lo $T$ es semánticamente completa. Ahora tome $\phi$$\forall x\cdot x = x$. Ni $\phi$ ni $\lnot\phi$ puede ser comprobable, porque la $\phi$ es cierto en algunos modelos, pero no en otros. Por lo $T$ no es sintácticamente completas.

Answer 2

La clave es que sintácticos coherencia y la integridad se define en relación a un sistema a prueba. Es decir, las nociones de consistencia sintáctica y la integridad consulte provability, y provability es siempre relativa a un sistema a prueba.

Ahora, si usted tiene un sólido y completo sistema a prueba de, a continuación, $T$ es sintácticamente completa si y sólo si $T$ es semánticamente completo, y lo mismo va para sintáctica consistencia vs coherencia semántica.

Sin embargo, si en la prueba del sistema es falso o incompleto, entonces los dos van a divergir. Considere, por ejemplo, si en la prueba del sistema contiene la siguiente regla de inferencia:

$$\frac{}{\therefore P}\qquad \text{(Hokus Ponens)}$$

Así, un sistema a prueba de, por supuesto, pueden probar de todo, y cualquier teoría de la $T$ va a ser sintácticamente completas y sintácticamente incoherente en relación a esta prueba en el sistema, incluso como $T$ bien podría ser semánticamente incompleta y semánticamente consistente.