¿Cómo sabemos que la relación entre circunferencia y diámetro es el mismo para todos los círculos?

Question

El número de $\pi$ se define como la relación entre el circumeference y el diámetro de un círculo. ¿Cómo sabemos que el valor de $\pi$ es correcto para cada círculo? ¿Cómo podemos realmente saber el valor es el mismo para cada círculo?

¿Cómo podemos saber que $\pi = {C\over d}$ para cualquier círculo? Hay una prueba de que los estados lo siguiente: Dado cualquier círculo sabemos que $\pi = {C\over d}$. No tal afirmación requiere una prueba de considerar $\pi$ es utilizado ampliamente en los problemas involucrados con los círculos, esferas, etc. ¿Cómo podemos realmente saber que el valor de $\pi$ es correcta para todos los círculos?

Answer 1

Esta no es una muy rigurosa prueba, pero es como me enseñaron el hecho de que la circunferencia de un círculo es proporcional a su radio.

Considere dos círculos concéntricos como en el diagrama anterior. El radio de la menor es $r$, mientras que de la más grande, $R$; sus circunferencias se $c$ $C$ respectivamente.

Dibujamos dos líneas a través del centro para cumplir con cada uno de los círculos, formando dos triángulos como se muestra. La relación de sus lados $r/R = r/R$, y tienen un ángulo común $\alpha$, por lo que son similares. Por lo tanto $k/K = r/R$. También tenga en cuenta que si $\beta$ denota la completa (360 grados) ángulo de un círculo, a continuación,$\beta/\alpha \cdot k \approx c$$\beta/\alpha \cdot K \approx C$.

Podemos decir que el $\frac{c}{C} \approx \frac{\beta/\alpha \cdot k}{\beta/\alpha \cdot K} = \frac{r}{R}$. Como el ángulo de $\alpha$ se convierte en más y más pequeño (que tiende a cero, para hacer una limitar el argumento), las aproximaciones $\beta/\alpha \cdot k \approx c$ $\beta/\alpha \cdot K \approx C$ crecer más precisa. En el caso límite-y esto es donde la 'prueba' es ligeramente nonrigorous -- tenemos que $\frac{c}{C} = \frac{r}{R}$.

Por lo tanto $c/r = C/R$ o, equivalentemente,$c/(2r) = C/(2R)$: la circunferencia dividida por el diámetro es siempre una constante para cualquiera de los dos círculos desde cualquiera de los dos círculos pueden hacer concéntricos por un trivial de traducción. Llamamos a esta magia constante $\pi$.

Answer 2

Para mostrar que $\pi$ es constante, debemos demostrar que dadas dos circunferencias de diámetros $d_1$ $d_2$ y circunferencias $c_1$$c_2$, respectivamente, que $\frac{c_1}{d_1}=\frac{c_2}{d_2}$.

Si $d_1=d_2$, a continuación, los dos círculos son congruentes porque se coloca uno sobre el otro y forman una fila. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $d_1\lt d_2$. Dibujar los círculos de forma concéntrica. A continuación, $d_2=kd_1$ algunos $k$. Si podemos demostrar que $c_1=kc_2$ $\frac{c_2}{d_2}=\frac{kc_1}{kd_1}=\frac{c_1}{d_1}$ y vamos a hacer.

Etiqueta el centro común de los dos círculos $O$. Construcción de dos rayos que emanan de $O$ hacia el exterior que se dividen cada uno de los círculos' circunferencias en $n$ a partes iguales, donde $n\gt 2$. Etiqueta los puntos donde los dos rayos se cruzan en el círculo interno $A$ $B$ y los puntos donde se intersectan el círculo exterior $A'$$B'$. Elija el$A'$, de modo que se encuentra en el mismo rayo como $A$.

Consideremos ahora los triángulos $AOB$$A'OB'$. Estos dos triángulos son semejantes y por otra parte, la relación de $\frac{\overline {A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{A'}{A}=\frac{\frac{d_2}{2}}{\frac{d_1}{2}}=\frac{d_2}{d_1}=\frac{kd_1}{d_1}=k$. Por lo tanto, $\overline{A'B'}=k\overline{AB}$.

El perímetro de la regular $n$-gon inscrito dentro del círculo interno está dado por $n$ copias de $\overline{AB}$ y el perímetro de la regular $n$-gon inscrito en el interior del círculo exterior es $n$ veces la longitud de $\overline{A'B'}$.

Por lo tanto, el perímetro del interior de la $n$-gon es $n|\overline{AB}|$ y el perímetro exterior de la $n$-gon está dado por $n|\overline{A'B'}|=kn|\overline{AB}|$. La relación de los dos perímetros es $k$ y esto es independiente de la $n$.

Tomando $n$ arbitrariamente grande da que el cociente de las dos circunferencias son también iguales a $k$ y el resultado queda demostrado.

Answer 3

Pregunta muy interesante. Supongo que cualquier respuesta tendrá que ver con lo que el perímetro se define incluso como. Si tomamos como límite de glons n, entonces es fácil ver que la relación de perímetros de polígonos (al menos $2n$-polígonos) a su diámetro es constante. Así en límite, también, la relación permanece constante.

Nota: Principios matemáticos griegos tenían una idea de los círculos (y muchos otros objetos curvos) como límites de polígonos.

Answer 4

No sé por qué usted plana earthers creer que la relación de la circunferencia al diámetro es pi. Que es sólo un caso límite para muy pequeños círculos. He comprobado en mi mundo, y se encontró que, por ejemplo, un círculo de diámetro de 12.000 millas tiene una circunferencia de aproximadamente 24,000 millas. Que es una relación de 2, no pi.

Por supuesto, incluso los círculos más grandes son posibles cuyos diámetros son más de la mitad de camino en todo el mundo, y en el caso límite es de un diámetro de 24.000 millas para un pequeño círculo que encierra a toda la tierra, excepto por una pequeña área alrededor del polo sur con la circunferencia de cerca de cero. Por lo que la relación puede llegar tan pequeño como quieras.

Answer 5

Todos los círculos son geométricamente similares. No hay un único parámetro que determina el tamaño. Sin embargo, la proporción de ciertas longitudes es independiente de su tamaño, es una constante.

Esto ocurre para todas las parábolas, catenarias, cycloids, Cornu espiral.. los cuales están construidos en una sola parámetros latus recto, el parámetro de $c$, cuyos ratios de duración hasta lugares específicos es el mismo, independientemente de su tamaño.

EDIT1

Así que todas las cifras de uno de los parámetros son geométricamente similares,pueden ser colocados formando una similitud, la proporción de la característica dimensiones (de un máximo a un mínimo, por ejemplo) es constante...en el caso de un círculo de la relación de la circunferencia al diámetro, es el más buscado después de la relación .. es $\pi$.