Para mostrar que $\pi$ es constante, debemos demostrar que dadas dos circunferencias de diámetros $d_1$ $d_2$ y circunferencias $c_1$$c_2$, respectivamente, que $\frac{c_1}{d_1}=\frac{c_2}{d_2}$.
Si $d_1=d_2$, a continuación, los dos círculos son congruentes porque se coloca uno sobre el otro y forman una fila. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $d_1\lt d_2$. Dibujar los círculos de forma concéntrica. A continuación, $d_2=kd_1$ algunos $k$. Si podemos demostrar que $c_1=kc_2$ $\frac{c_2}{d_2}=\frac{kc_1}{kd_1}=\frac{c_1}{d_1}$ y vamos a hacer.
Etiqueta el centro común de los dos círculos $O$. Construcción de dos rayos que emanan de $O$ hacia el exterior que se dividen cada uno de los círculos' circunferencias en $n$ a partes iguales, donde $n\gt 2$. Etiqueta los puntos donde los dos rayos se cruzan en el círculo interno $A$ $B$ y los puntos donde se intersectan el círculo exterior $A'$$B'$. Elija el$A'$, de modo que se encuentra en el mismo rayo como $A$.
Consideremos ahora los triángulos $AOB$$A'OB'$. Estos dos triángulos son semejantes y por otra parte, la relación de $\frac{\overline {A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{A'}{A}=\frac{\frac{d_2}{2}}{\frac{d_1}{2}}=\frac{d_2}{d_1}=\frac{kd_1}{d_1}=k$. Por lo tanto, $\overline{A'B'}=k\overline{AB}$.
El perímetro de la regular $n$-gon inscrito dentro del círculo interno está dado por $n$ copias de $\overline{AB}$ y el perímetro de la regular $n$-gon inscrito en el interior del círculo exterior es $n$ veces la longitud de $\overline{A'B'}$.
Por lo tanto, el perímetro del interior de la $n$-gon es $n|\overline{AB}|$ y el perímetro exterior de la $n$-gon está dado por $n|\overline{A'B'}|=kn|\overline{AB}|$. La relación de los dos perímetros es $k$ y esto es independiente de la $n$.
Tomando $n$ arbitrariamente grande da que el cociente de las dos circunferencias son también iguales a $k$ y el resultado queda demostrado.
