Derivando la transformada de Laplace del polinomio de Laguerre

Question

Se me dio esta definición para los polinomios de Laguerre: $$L_n(t)=\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right],~\text{para }n=0,1,2...$$ y tengo que demostrar que la transformada de Laplace es $$\frac{1}{s}\left(\frac{s-1}{s}\right)^n$$ Mi primer intento fue encontrar una fórmula para la $n$-ésima derivada de $t^ne^{-t}$, que encontré que es $$\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]=e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}$$

Entonces desde aquí intenté hacer la transformada: $$\begin{align*}\mathcal{L}_s\left\{\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]\right\}&=\frac{1}{n!}\mathcal{L}_{s-1}\left\{e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}\right\}\end{align*}$$ donde $\mathcal{L}_s\{f(t)\}=F(s)$ y $\mathcal{L}_s\{e^tf(t)\}=\mathcal{L}_{s-1}\{f(t)\}=F(s-1)$ (en caso de que la notación sea desconocida). No estoy seguro de cómo continuar con esto. El factor de $e^{-t}$ parece deshacer el desplazamiento a $s-1$, y no estoy seguro si eso es un problema o no.

No creo que haya cometido un error con la fórmula de la $n$-ésima derivada, pero creo que podría haber una forma diferente de expresarla que haría más fácil el cálculo. ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

¿Has considerado usar las propiedades de la transformada de Laplace para simplificar cálculos?

Las que estoy pensando son:

$$\mathcal{L}(e^{at}f(t))=F(s-a)$$

y,

$$\mathcal{L}\left(\frac{d^n}{dt^n}f(t)\right)=s^nF(s)-\sum_{i=1}^ns^{i-1}f^{(n-i)}(0)$$

donde $F(s)=\mathcal{L}(f(t))$ y $f^{(n)}$ es la n-ésima derivada de $f$. El $\frac{1}{n!}$ es una constante, por lo que puedes sacarlo de la integral.

Answer 2

No creo que sea conveniente usar la fórmula de Rodrigues aquí. Si se comienza desde la representación estándar en forma cerrada de los polinomios de Laguerre $$L_n(x)=\sum_{k=0}^n {{n} \choose {k}} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$$ tenemos el cálculo bastante sencillo

$$\mathcal L_s(L_n(x)))=\int_0^\infty e^{-sx}L_n(x) dx=\sum_{k=0}^n {{n} \choose {k}} \frac{(-1)^k}{k!} \int_0^\infty x^k e^{-sx}dx=\sum_{k=0}^n {{n} \choose {k}} (-1)^k s^{-k-1}= \\ s^{-1}\sum_{k=0}^n {{n} \choose {k}} (-s^{-1})^{k} =\left(\frac{s-1}{s} \right)^n \frac{1}{s}$$

habiendo utilizado la relación de la función Gamma $$\int_0^\infty x^k e^{-sx}dx= k! s^{-k-1}.$$