Me dan esta definición para los polinomios de Laguerre: $$L_n(t)=\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right],~\text{for }n=0,1,2...$$ y tengo que demostrar que la transformada de Laplace es $$\frac{1}{s}\left(\frac{s-1}{s}\right)^n$$ Mi primer intento fue encontrar una fórmula para el $n$ derivada de $t^ne^{-t}$ que he encontrado para ser $$\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]=e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}$$
Así que a partir de aquí traté de tomar la transformación: $$\begin{align*}\mathcal{L}_s\left\{\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]\right\}&=\frac{1}{n!}\mathcal{L}_{s-1}\left\{e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}\right\}\end{align*}$$ donde $\mathcal{L}_s\{f(t)\}=F(s)$ y $\mathcal{L}_s\{e^tf(t)\}=\mathcal{L}_{s-1}\{f(t)\}=F(s-1)$ (en caso de que la notación no sea familiar). No estoy seguro de cómo continuar con esto. El factor de $e^{-t}$ parece deshacer el cambio a $s-1$ y no estoy seguro de si eso es un problema o no.
No creo que me haya equivocado con el $n$ La fórmula de la derivada, pero creo que puede haber una forma diferente de expresarla que facilite el cálculo. Se agradece cualquier ayuda.
