Se me dio esta definición para los polinomios de Laguerre: $$L_n(t)=\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right],~\text{para }n=0,1,2...$$ y tengo que demostrar que la transformada de Laplace es $$\frac{1}{s}\left(\frac{s-1}{s}\right)^n$$ Mi primer intento fue encontrar una fórmula para la $n$-ésima derivada de $t^ne^{-t}$, que encontré que es $$\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]=e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}$$
Entonces desde aquí intenté hacer la transformada: $$\begin{align*}\mathcal{L}_s\left\{\frac{e^t}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left[t^ne^{-t}\right]\right\}&=\frac{1}{n!}\mathcal{L}_{s-1}\left\{e^{-t}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!}\binom nk (-t)^{n-k}\right\}\end{align*}$$ donde $\mathcal{L}_s\{f(t)\}=F(s)$ y $\mathcal{L}_s\{e^tf(t)\}=\mathcal{L}_{s-1}\{f(t)\}=F(s-1)$ (en caso de que la notación sea desconocida). No estoy seguro de cómo continuar con esto. El factor de $e^{-t}$ parece deshacer el desplazamiento a $s-1$, y no estoy seguro si eso es un problema o no.
No creo que haya cometido un error con la fórmula de la $n$-ésima derivada, pero creo que podría haber una forma diferente de expresarla que haría más fácil el cálculo. ¡Cualquier ayuda es apreciada!
