Valor máximo de la función $f(x)=x^n(1-x)^n$ para un número natural $n \geq1$$x\in[0,1]$.

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Cómo puedo encontrar el Máximo Valor de la función $f(x)=x^n(1-x)^n$ para un número natural $n \geq1$$x\in[0,1]$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$x^n(1-x)^n=\bigl(x(1-x)\bigr)^n=\left(\frac14-\left(\frac12-x\right)^2\right)^n\le \frac1{4^n}$$

Answer 2

En primer lugar, encontrar el máximo de $x(1-x)$, y se deja de tener valor $Q$. Usted puede hacer esto al completar el cuadrado, AM-GM, o la diferenciación (dependiendo de cuánto usted sabe).

A continuación, desde la exponenciación de la función $x \rightarrow x^n$ es estrictamente una función creciente para$x\in [0,\infty]$$n\geq 1$, si se sigue que $Q^n$ será el valor máximo de la función.

Answer 3

Ya que su función es positiva, usted puede tomar la $n^{th}$ root y maximizar la que, y, a continuación, elevar el valor de la $n^{th}$ de la energía.

Answer 4

Ya que su función es positiva, usted puede tomar el logaritmo y maximizar; en el final se puede exponentiate el resultado. En las fórmulas $$ \ln f(x) = n [\log x + \log (1-x)].$$ A continuación, $$\frac{d}{dx} \ln f(x^*) = \frac{n}{x^*} - \frac{n}{1-x^*} =0$ $ conduce a $x^*=1/2$. Entonces usted tiene $f(x^*) = 1/2^{2n}$ a que se debe comparar con los valores en $x=0,1$.

Answer 5

$$f(x)=x^n(1-x)^n$$ $$f'(x)=n(x-x^2)^{n-1}(1-2x)=0$$ $$x-x^2=x(1-x)=0,x=0,x=1$$ and $f(0)=f(1)=0$ o $$1-2x=0,x=1/2$$ so maximum is for $x=1/2$ $$f(1/2)=(1/2)^{2n}$$