Cuaterniones: ¿Por qué el ángulo $\frac{\theta}{2}$ ?

Question

La ecuación para crear un cuaternión a partir de una representación eje-ángulo es $$x'= x \sin\left(\frac \theta 2\right)$$ $$y' = y \sin\left(\frac \theta 2\right)$$ $$z' = z \sin\left(\frac \theta 2\right)$$ $$w' = \cos\left(\frac \theta 2\right)$$ Pero, ¿por qué $\frac \theta 2$ ? ¿Por qué no $\theta$ ?

Answer 1

Pista:

Consideremos el cuaternión unitario $$u=\cos \theta + \bf{i}\sin \theta$$ y el cuaternión imaginario puro ${\bf j}$ . Entonces el producto: $u{\bf j}u^*$ (donde $u^*=\cos \theta - {\bf i}\sin \theta$ es el conjugado de $u$ ) es: $$(\cos \theta + {\bf i}\sin \theta){\bf j}(\cos \theta - {\bf i}\sin \theta)= (\cos \theta + {\bf i}\sin \theta)({\bf j}\cos \theta + {\bf k}\sin \theta)=$$ $$=(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta){\bf j}+2{\bf k}\cos \theta \sin \theta = {\bf j}\cos 2 \theta+{\bf k} \sin 2 \theta$$ es decir, el vector ${\bf j}$ girado un ángulo $2 \theta$ alrededor del ${\bf i}$ eje.

Ahora, haz lo mismo para el otro eje ${\bf j}$ y ${\bf k}$ y extender este resultado a cualquier rotación alrededor de un eje ${\bf u}= u_1{\bf i}+u_2{\bf j}+u_3{\bf k}$ .