Mostrar que la integral de dominio con cada estrictamente decreciente de la cadena de ideales $I_1 \supset I_2\supset \cdots $ finito en la longitud de un campo.

Question

Mostrar que la integral de dominio con la propiedad de que cada estrictamente decreciente de la cadena de ideales $I_1 \supset I_2\supset \cdots $ debe ser finito en la longitud de un campo.

Intento: Debemos demostrar que todo elemento de la integral de dominio $D$ es invertible. Supongamos $\exists~ a \in D$ tal que $a$ no es invertible.

Claramente, $ \langle a \rangle \supset \langle a^2 \rangle \supset\cdots \supset\langle a^n \rangle $ donde $\langle a^{n } \rangle $ es la última ideales en la cadena.

Ahora, $\langle a^{n+1} \rangle $ debe ser igual a uno de los $\langle a^i \rangle ;~ 1 \leq i \leq n$

Pero $\langle a^{n+1} \rangle $ también satisface $\langle a^n \rangle \supseteq \langle a^{n+1} \rangle $ $\langle a^i \rangle \supset\langle a^n \rangle $

$\implies \langle a^j \rangle =\langle a^n \rangle ~~\forall~~j \geq n$

Ahora, desde la $a$ no es una unidad, $\langle a \rangle $ no contiene la unidad y, por lo tanto, $\langle a \rangle \neq D$

¿Cómo puedo seguir adelante y he interpretado el problema correctamente?

Gracias por su ayuda..

Answer 1

Si $a$ no es una unidad, entonces la $\langle a^{n+1} \rangle \ne \langle a^n \rangle$ porque si $a^n \in \langle a^{n+1} \rangle$, es decir, $a^n = r a^{n+1}$ algunos $r \in D$,$a^n(1 - ra) = 0$, lo que implica que $1 = ra$ (debido a $D$ es un dominio), contradiciendo la suposición de que $a$ no es una unidad.

Answer 2

Sugerencia: $\langle a^n\rangle=\langle a^{n+1}\rangle\implies a^{n+1}\in\langle a^n\rangle\implies ??$