La construcción de un no-medibles conjunto

Question

Tengo una tarea problema que estoy teniendo problemas. Podría alguien ayudarme por favor?

La declaración de mi problema es el siguiente: Una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^N$ está definido por $ x \sim y$ si $ x-y \in \mathbb{Q}^N$, por lo que las clases de equivalencia definidas por $[x] = x + \mathbb{Q}^N$. Por el Axioma de Elección que podemos construir el siguiente conjunto C: Vamos a B denotar la unidad de la bola en $\mathbb{R}^N.$ Por cada clase de equivalencia $[x]$$ [x] \cap B \neq \emptyset$, elija exactamente un $y \in [x] \cap B $ a de C. Deje $I = 2B \cap \mathbb{Q}^N.$

i) Mostrar a la familia de conjuntos de $ (q+C)_{q \in I}$ es de a pares distintos.

ii) demuestre $ B \subseteq \displaystyle\bigcup_{q\in I} (q+C) \subseteq 3B$

iii) Muestran que $m^*(C) > 0$, y deducir que $ C$ no es mensurable. (Aquí se $m^*$ $N$- dimensiones de Lebesgue exterior de medida).

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Estoy seguro de cómo se enfoque i) en todos los.

Para ii) no tengo idea de cómo mostrar el $ B\subseteq \displaystyle\bigcup_{q\in I} (q+C).$ Para la segunda parte de ii) desde el $I \subseteq 2B$ $ C \subseteq B$ puedo ver por qué se debe mantener, pero no sé para justificar rigurosamente.

Aquí está mi intento de iii):

Supongamos $m^*(C) = 0.$ ii) $ B\subseteq \displaystyle\bigcup_{q\in I} (q+C)$$ m^*(B) \leq m^*\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I} (q+C)\right)$. Desde $I \subseteq \mathbb{Q}^N$ contables, contables sub-aditividad de exterior medidas de $\displaystyle m^*\left(\bigcup_{q\in I} (q+C)\right) = \sum_{q\in I} m^*(q+C)$. Por la traducción de la invariancia de la Lebesgue exterior de medida $m^*(q+C) = m^*(C)=0$ $\displaystyle m^*\left(\bigcup_{q\in I} (q+C)\right) = 0$ lo que implica $m^*(B) =0 $, lo cual es claramente falso. Por lo tanto $m^*(C) > 0.$

Ahora supongamos que C es medible, por lo $m^*(C)= m(C)$. Por la traducción de la invariancia, $q+C$ es medible con $m(q+C) = m(C)$.

De ii), podemos deducir $m^*\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I} (q+C)\right) \leq m^*(3B) $. Por la parte i), y Contables de la suma de distintos conjuntos, $\displaystyle m^*\left(\bigcup_{q\in I} (q+C)\right)= \sum_{q\in I} m(C) = \infty $ desde $m(C) > 0.$, Pero es fácil demostrar a $ m^*(3B) < \infty $, que es de nuevo una contradicción.

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Estoy relativamente seguro de que por trabajar para iii) es correcta. Si alguien pudiera comprobarlo, y también me da ayuda sobre cómo proceder para las partes i) y ii), sería muy útil. Gracias.

Answer 1

Una sugerencia para que yo):

Por contradicción. Asumir que no están de a pares distintos. A continuación, $\exists q_1 , q_2 \in Q $ tal que $x \in (q_1 + C) \cap (q_2 + C)$. A continuación,$q_1 + c = x = q_2 + c^\prime$. Por lo $q_1 - q_2 = c^\prime - c$.

Editar $C$ es un conjunto de representantes de las clases de equivalencia. Dos elementos son equivalentes si se diferencian por un número racional. Así que no hay dos elementos en $C$ se diferencian por un racional porque de lo contrario se estaría en la misma clase de equivalencia y por lo tanto el mismo elemento en $C$.

Para finalizar el argumento de la anterior: la cosa en el lado izquierdo es racional (porque $\mathbb{Q}$ es un grupo) y la cosa en la mano derecha no es racional, porque si lo fuera, tendría $c = c^\prime$ y, por tanto,$q_1 = q_2$. Pero se supone que $q_1 + C$ $q_2 + C$ eran dos diferentes clases de equivalencia, es decir, asumimos $q_1 \neq q_2$.

Ahora usted tiene una contradicción, porque "algo racional" $=$ "algo " irracional", por lo que su suposición de que comparten un elemento que debe haber sido un error.

Edit 2 Con respecto a ii):

Para argumentar a favor de la segunda $\subset$, tenga en cuenta que $C \subset B = [-1,1]$. El más pequeño $q \in I = 2B \cap \mathbb{Q}$$-2$, la más grande es $2$. Así que es salvar a suponer que el elemento más pequeño $q + c$ $c \in C$ $q \in B \cap \mathbb{Q}$ $-2 - 1 = -3$ y el más grande es $2 + 1 = 3$. Por lo tanto,$C \subset [-3, 3]$. El mismo argumento para $N$ dimensiones.

Aquí no estoy seguro acerca de $2 B \cap \mathbb{Q}^N$. Creo que debería ser $B \cap \mathbb{Q}^N$.

Edición 3 Para argumentar a favor de la inclusión de elegir una $x \in B$ y deje $c$ ser el representante de $[x]$. A continuación, $\exists q \in \mathbb{Q} \cap [-1,1]$ tal que $x-c = q$ y, por tanto, $x = c + q$ algunos $q$.

En cuanto iii): se Ve bien para mí.

Por cierto: Esto se llama el conjunto de Vitali.