Es el abelianization de un subgrupo de $H$ a un subgrupo de la abelianization de un grupo de $G$?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $H<G$. Entonces, ¿es cierto que $H^{ab} < G^{ab}$, es decir, la abelianization de $H$ es un subgrupo de la abelianization de $G$?

Para mí, tendría sentido si es que era cierto. Sin embargo, no sé exactamente cómo demostrarlo. Para cualquier grupo de $G$, sabemos que $G^{ab} = G/G' < G$ donde $G'$ es el colector de un subgrupo de $G$. Por lo tanto, $H^{ab} < H < G$ y, entonces, por transitividad, $H^{ab} < G$, por lo que obtenemos $H^{ab} < G$$G^{ab} < G$. Estoy atrapado aquí...

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

No, el abelianization functor no es de izquierda exacta. Por ejemplo, considere el grupo $G$ que es el producto de dos copias de $\mathbf Z/2\mathbf Z$. Tiene la presentación de $\langle a,b | a^2 = b^2 = 1\rangle$. Su abelianization es $(\mathbf Z/2\mathbf Z)^2$. Pero $G$ contiene una copia de el grupo abelian $\mathbf Z$, generado por $ab$.

(Es cierto, sin embargo, que abelianization es derecho exacta, ya que es la izquierda, adjunto a la olvidadizo functor de la categoría de abelian grupos a la categoría de grupos).

Answer 2

No siempre se cumple. Considere la siguiente sugerencia.

Sugerencia: Para un elemento $a$ de los derivados de los subgrupos, $a\in G^{\prime}$, considerar el subgrupo cíclico $H=\langle a\rangle$.