Soy un estudiante de secundaria teniendo pre calculo. Acabamos de terminar una unidad en trig analítica. Tengo curiosidad por saber si hay cualquier usos puramente teóricos de trigonometría. Más específicamente, conceptos trigonométricos (o incluso funciones) permite comprobar/refutar conjeturas matemáticas generales. Me han dicho se utiliza mucho en cálculo, pero por mis conocimientos (muy) limitada principalmente consiste en aplicar conceptos de calc para funciones trigonométricas. ¿Es esto correcto?
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David C. Ullrich
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Yo les digo a mis estudiantes en ecuaciones diferenciales (uno-semestre-pasado-clase de cálculo) que la gente ha estado mintiendo a ellos acerca de por qué trig es importante! La resolución de triángulos, a quién le importa. Trig asuntos para todo tipo de razones más avanzados de matemáticas.
Un gran problema es que el seno y el coseno tanto satisfacer $$f(x+2\pi)=f(x);$$that is, they are functions with period $2\pi$ (in radians). The amazing and hugely important thing about that is that you can use sine and cosine to "generate" any other function with period $2\pi$. That is, leaving out a lot of technical details, if $f$ is any function with period $2\pi$ then there are constants $a_n$ and $b_n$ so that $$f(x)=a_0+(a_1\cos(x)+b_1\sin(x))+(a_2\cos(2x)+b_2\sin(2x))+\dots.$$ Esa es la "series de Fourier" para $f$; series de Fourier son increíblemente útil e importante en muchas áreas de las matemáticas, la teórica y aplicada tanto.
Confesión: parece que la gente está leyendo esto. No lo puedo soportar; he mentido anteriormente. Para el registro, uno de los "detalles técnicos" yo se omite es que en realidad, no es cierto que todos los $2\pi$-función periódica se puede expandir en una serie de Fourier.
Fourier dijo exactamente la misma mentira. En cierto sentido, bien es cierto, en su día, al menos el más verdadero de lo que es ahora. Debido a la moderna noción de "función" es muy diferente de lo que la gente pensaba como una "función" de un par de siglos atrás. Y fue uno de los más fructíferos se encuentra en la historia de las matemáticas.
En el mismo espíritu, creo que aunque no es realmente cierto, en un pre-cálculo contexto es más apropiado declaración de cualquiera de los verdaderos afirmaciones se aproxima.
user68356
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36
Uno trascendental uso teórico de las funciones trigonométricas es resolver el problema de Basilea (es decir, demostrar que la suma de los recíprocos de los cuadrados es igual a $\pi^2/6$). Véase, por ejemplo: http://math.cmu.edu/~bwsulliv/basilea-problema.pdf.
O mejor: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#A_rigorous_elementary_proof (como se sugiere por Mark S. en los comentarios).
zyx
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20965
Las funciones sin, cos y $\exp(i \theta)$, y de sus aplicaciones, están en todas partes en las matemáticas, pero de una manera que es relativamente divorciada de triángulos.
Términos como "series de Fourier/análisis/teoría/transform", "sumas trigonométricas/serie", "análisis armónico" y "exponencial sumas" se utiliza para indicar que estos no particularmente geométricas formas de uso de las funciones trigonométricas. Como un ejemplo, mucho de lo que se sabe acerca de la distribución de los números primos se basa en este tipo de teoría.
La trigonometría, el uso de las funciones trigonométricas en relación a los triángulos y de la geometría, donde aparece la geometría Euclidiana es en el juego, pero ese no es el caso para la mayoría de las matemáticas superiores. Aplicaciones tales como la ingeniería, (clásica) de la física, la arquitectura y la agrimensura se basan en la geometría Euclidiana en 2 ó 3 dimensiones, y allí puede ser necesario el uso de la trigonometría de la clase se enseña en la escuela. Trigonometría esférica también tiene sus aplicaciones.
El usuario final de software que utiliza la trigonometría no puede tener nunca una necesidad de calcular funciones trigonométricas o resolver triángulos. Es sobre todo en la física y la ingeniería mecánica que las personas tienen razones para estar constantemente utilizando clásico de la trigonometría.
Wojowu
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Lo que me parece increíble es el hecho de que $\cos x$ identidad y la participación son herramientas que se utilizan en un paso clave en una prueba del teorema de los números primos. No me extenderé en detalles técnicos, pero permítanme esbozar la idea general de cómo se presenta (tomado de la sección 7.1.3 aquí)
La parte clave de cada complejo-analítica de la prueba de PNT implica que demuestra que $\zeta(1+iy)\neq 0$$y\in\Bbb R$. Para que consideramos auxilary función de $h(x)=\zeta(x)^3\zeta(x+iy)^4\zeta(x+2iy)$. El uso de Euler del producto y de la expansión de Taylor de $\ln z$ $1$ podemos escribir $$\ln|h(x)|=\sum_{j=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{p_j^{-nx}}{n}\operatorname{Re}(3+4p_j^{-iny}+p_j^{-2iny})$$
Ahora $p_j^{-iny}$ es un número real puramente imaginaria de energía, por lo que su parte real es de $\cos\theta$ donde $\theta=ny\ln p_j$. Del mismo modo la parte real de la $p_j^{-2iny}$$\cos 2\theta$. Por lo tanto, tenemos $$\operatorname{Re}(3+4p_j^{-iny}+p_j^{-2iny})=3+4\cos\theta+\cos 2\theta$$ y es fácil comprobar la utilización de $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ que RHS es no negativa. Finalmente, esto nos dice que $|h(x)|\geq 1$, que no podía mantener si $\zeta(1+iy)=0$.
alephzero
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La "teoría" de las funciones trigonométricas se pone mucho más interesante cuando se lleve también en el cálculo, serie infinita, y los números complejos. De hecho, en ese punto, se suele definir el seno y el coseno funciones como series infinitas en lugar de mediante el uso de la geometría:
$$\begin{align}\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\end{align}$$
($3!$"$3$ factorial", es decir,$1\times2\times3$).
Esas definiciones de trabajo con $x$ en radianes, no en grados ($2\pi$ radianes = $360$ grados), y para los números complejos, no sólo de los valores reales de a $x$.
Hay algunas profundas relaciones entre trigonométricas, exponenciales y funciones de registro, la más fundamental es $$e^{iz} = \cos z + i \sin z$$ lo cual es cierto para cualquier número complejo a $z$, y conduce a la sorprendente resultado (descubierta por Euler) la vinculación de cuatro (o cinco?) de la mayoría de los "constantes fundamentales de la naturaleza" en matemáticas: $$e^{i\pi} + 1 = 0.$$
Casi todo lo que en matemáticas aplicadas utiliza trig o funciones exponenciales en algún lugar - que no se limitan a calcular los ángulos de la geometría.
