¿Es cierto que $E[|Y|\mid{\mathcal G}]\leq |Y|$ casi seguramente?

Question

Este es un ejercicio de expectativas condicionales:

Sea $Y$ una variable aleatoria integrable en el espacio $(\Omega, {\mathcal A}, {\bf P})$ y $\mathcal{G}$ una sub $\sigma$-álgebra de $\mathcal{A}$. Demuestra que $|Y|\leq c$ implica $|E[Y\mid{\mathcal G}]|\leq c$.

Con la desigualdad de Jensen, se tiene inmediatamente que $|E[Y\mid{\mathcal G}]|\leq E(|Y|\mid{\mathcal G})

Estoy tratando de demostrar que $E[|Y|\mid{\mathcal G}]\leq |Y|$, lo cual no siempre es cierto. Si $Y$ es $\mathcal{G}$-medible, entonces $E[|Y|\mid {\mathcal G}]= |Y|$. Pero no tengo idea para el caso general.

Answer 1

El siguiente resultado muestra que lo que estás intentando probar es la excepción en lugar de la regla.

El único caso en que $\mathbb E(Z\mid\mathcal G)\leqslant Z$ casi seguramente, para alguna variable aleatoria integrable $Z$ y algún sigma-álgebra $\mathcal G$, es cuando $Z$ es medible con respecto a $\mathcal G$. Entonces $\mathbb E(Z\mid\mathcal G)=Z$ casi seguramente.

Prueba: Llama $T=\mathbb E(Z\mid\mathcal G)$, entonces $\mathbb E(T)=\mathbb E(Z)$. Por lo tanto, si $T\leqslant Z$ casi seguramente, entonces $T=Z$ casi seguramente. Si esto ocurre, $Z$ es medible con respecto a $\mathcal G$ porque $T$ lo es, por definición de expectativa condicional.