Si $X \sim N(0,1)$, no $(X, X)^\prime$ tienen una distribución normal bivariante?

Question

Si $X \sim N(0,1)$, no $Y=(X,X)^\prime$ tienen una distribución normal bivariante? Si es así (en realidad también si no), ¿cuál es la densidad conjunta?

Answer 1

Dos copias de la misma variable normal apilados en un vector de rendimiento de un degenerado normal bivariante.

Ver wikipedia en el caso de degeneración de la normal multivariante

Si bien es un caso especial de la normal multivariante no tiene una densidad bivariante.

La varianza-covarianza de la matriz de $Y=(X,X)^\prime$ ($\text{Var}(Y)=\Sigma$) para una normal estándar $X$ será todo.

Como tal, usted no puede invertir $\Sigma$ y en su lugar debe utilizar un generalizada inversa en el exponente; también tendrás la necesidad de redefinir el determinante -- el ordinario determinante será 0 -- a un pseudo-determinante, que en este caso le dará $1$.

La densidad será de cero en todas partes, pero la línea de $y_1=y_2$ (pero si en la condición de estar en esa línea se ve como un estándar de densidad normal)

Si se considera la distribución bivariante en la dirección ortogonal a la línea que usted está buscando en la densidad de la variable $Y_1-Y_2=X-X=0$ -- usted tiene un degenerado "normal" con media 0 y varianza 0; es en este sentido vemos que la densidad desaparece (es sólo un pico a 0).