Condiciones necesarias y suficientes para $(i \, j)$ y $(1 \, 2 \, \dotsc \, n)$ generar $S_n$ .

Question

Tengo una pregunta de tarea que pregunta

Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para $1 \leq i < j \leq n$ para que $(i \, j)$ y $(1 \, 2 \, \dotsc \, n)$ generar $S_n$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora. Llamar a $c = (1 \, 2 \, \dotsc \, n)$ . Hice la observación de que $$\overbrace{c c \dotsb c}^{n - j + 1} (i \, j) \overbrace{c^{-1} c^{-1} \dotsb c^{-1}}^{n - j + 1} = (1 + i - j + n \, 1).$$ Así, $\langle (i \, j), c \rangle = \langle (1 \, i - j + n + 1), c \rangle$ por lo que basta con ver $\langle (1 \, k), c \rangle$ para números enteros positivos $2 \leq k \leq n$ . He comprobado que, para el valor $k=2$ , $\langle (1 \, 2), c \rangle = S_n$ . Esto implica inmediatamente $\langle (1 \, n), c \rangle = S_n$ . Sospecho que no hay otros valores de $k$ funcionará, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

Supongamos que $\gcd(|b-a|,n)=g>1$ . Digamos que una permutación $\sigma$ de $[n]=\lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace$ es respetuoso modulo $g$ si

$$i \equiv j ({\sf mod}\ g) \Leftrightarrow \sigma(i) \equiv \sigma(j) ({\sf mod}\ g)$$ Es fácil ver que el conjunto de permutaciones que son respetuosas módulo $g$ es un subgrupo estricto de $S_n$ que obviamente contendrá sus dos elementos.

Por el contrario, supongamos $\gcd(|b-a|,n)=1$ . Será conveniente ver el conjunto base como $\frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}}$ en lugar de $[n]$ . Denotemos por $H$ el subgrupo generado por sus dos elementos y sea $$T=\bigg\lbrace t\in \frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}} \bigg| (1,1+t) \in H \bigg\rbrace$$

Como se explica en la OP, tenemos $(i,i+t)=c^i(1,1+t)c^{-i}$ así que cuando $t\in H$ se deduce $(i,i+t)\in H$ para cualquier $i$ . Así que $T$ es igual a $$T'=\bigg\lbrace t\in \frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}} \bigg| (i,i+t) \in H \ \text{for every } \ i \in\frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}} \bigg\rbrace$$

Pero está claro que $T'$ es un subgrupo de $\frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}}$ por construcción. Dado que contiene un elemento que es coprimo con $n$ es el conjunto de $\frac{\mathbb Z}{n{\mathbb Z}}$ . Entonces el subgrupo generado contiene todas las transposiciones y, por tanto, es igual al conjunto de $S_n$ .