$E(X^2)=E(X)=1$. Encontrar $E(X^{100}).$

Question

$X$ es una variable aleatoria tal que $E(X^2)=E(X)=1$. Encontrar $E(X^{100}).$

Mi intento: Asumiendo $X$ es discreto, tenemos $\sum x_i\mathbb P(X=x_i) = \sum x_i^2\mathbb P(X=x_i) = 1.$ Tenemos algo como $x_1p_1+\cdots+x_np_n=x_1^2p_1+\cdots+x_n^2p_n=1$. ¿Cómo puedo averiguar $\sum x_i^{100}\mathbb P(X=x_i)$? Estoy completamente en blanco. Y, me siento incómoda como $X$ bien podría ser continuo. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

$$1 = \operatorname{E}(X^2) = (\operatorname{E}(X))^2 + \operatorname{var}(X) = 1 + \operatorname{var}(X).$$ Por lo tanto $$\operatorname{var}(X)=0.$$ Por lo $\Pr(X=1)=1$.

Se puede hacer con el resto?