Para procesos reversibles, podemos derivar que
$$ d S = \frac{\delta Q}{T} $$
(tenga en cuenta que es $dS$, no $\delta S$, en el lado izquierdo debido a $S$ sí es en realidad una bien definida la propiedad del estado, es decir, la cantidad de desorden en el sistema, y no la "tasa de caos", como equivocadamente se escribió; por otro lado, no existe una única $Q$ "en general el calor acumulado" que definiría el estado actual de un sistema, porque no lo sabemos "desde cuando" este calor se contaría, y sólo los cambios de $Q$ están bien definidos, es por ello que el uso de $\delta$ e no $d$) hasta algunos cambios de convenios o redefiniciones de las variables.
¿Por qué es posible elegir convenios, en los que la ecuación anterior se mantiene? Bueno, siempre podemos transferencia de calor en un sistema o desde el sistema en (casi) a la misma temperatura que es reversible. Cuando nos invertir la calefacción de un enfriamiento, debe ser una función del estado $S$ que devuelve el valor original; si los procesos eran irreversibles, se debería aumentar a un nivel superior.
Ahora, la pregunta es cómo un $S$ y sus cambios han de ser definidos, por lo que tiene las propiedades exigido en el párrafo anterior. Claramente, tiene que ser una gran cantidad. Así que cuanto más calor que de respuesta, mayor es $dS$. Debido a que el calor puede siempre ir a través de un sistema intermedio de la misma temperatura, no importa de donde es el calor que fluye desde y hacia.
Así que debe ser que $dS=\delta Q / B(T)$ donde $B(T)$ es algo de universal en función de la temperatura (y nada más). Cómo esta función $B(T)$ puede determinarse mediante cualquier sistema, por ejemplo el gas perfecto, que es muy simple.
El gas que obedece a $pV=nRT$, el diferencial para el calor absorbido en la expansión es reversible
$$\delta P = C_v dT + p\, dV.
$$
Este diferencial no es exacta, lo que significa que no puede ser escrito como $dM$ para algunas de las funciones de estado (de hecho, una función de $p,V,T$ etc.) $M$.
Queremos
$$dS = \frac{\delta Q}{B(T)} = \frac{C_v dT}{B(T)} + \frac{p\,dV}{B(T)}$$
para ser una diferencial exacta de algo. El primer término es $C_v$ multiplicado por el diferencial de alguna función de $T$, lo $B(T)$ es. Sin embargo, el segundo término $p\,dV/B(T)$ es sólo una diferencial exacta si el no-factor constante $p$ en el numerador, en frente de $dV$, se cancela. Por lo $B(T)$ debe ser igual a $p$ veces una función de $V$. Pero debido a que es una función de $pV/nR=T$ en el mismo momento, debe ser igual a $pV/nR=T$, hasta una escala general.
Así que hasta la libertad para cambiar la escala de la temperatura o de la entropía de un factor (una elección de unidades), podemos optar $B(T)=T$ es decir, igual a la temperatura absoluta del gas ideal. Ninguna función no lineal como $B(T)=T^n$ $n\neq 1$ sería aceptable. Para este ejemplo, tendríamos $B(T)=p^n$ multiplicado por una potencia de volumen (veces una constante) por lo que en el denominador, se obtendrían $p^n$, lo cual no cancelar $p$ en el numerador y la proporción todavía dependen de la $p$, lo que nos deja con $f(p)dV$, que no es una diferencial exacta.
El gas ideal cálculo de arriba era más sencillos que otros, pero con un conocimiento de trabajo de la modelo microscópico de cualquier sistema físico, se podría utilizar cualquier sistema físico para obtener la misma cosa. De hecho, la física estadística, que es la explicación de fenómenos termales en términos de las propiedades estadísticas de los átomos y su manipulación, es posible deducir $\delta Q = T\,dS$ para todos los reversibles de los procesos en general. Pero me temo que la física estadística es ACEPTAR material para el nivel universitario público–, pero seguramente no quiere subestimar.
