Una casa a prueba de que la medida de Lebesgue es rígido movimiento invariante.

Question

Estoy ocupado haciendo un pequeño licenciatura de matemáticas proyecto en el Banach Tarski paradoja y tenía la esperanza de que yo pudiera probar que una medida de lebesgue es rígido movimiento invariante, pero no puedo encontrar una prueba elocuente en línea que no es demasiado largo y engorroso. Necesito realtively corto porque tengo un límite de palabras y no quiere demasiado de mi proyecto dedicado a demostrar algo que no es uno de los principales resultados. Me preguntaba si alguien nuevo de un periodo relativamente corto de auto-contenido de la prueba. Si esta prueba no funciona para $\mathbb{R}^3$ solo que estaría bien.

Answer 1

Como @cobre.sombrero menciona anteriormente, usted necesita el hecho de que cualquier rígido movimiento de $\mathbb{R}^n$ es de la forma $$ \phi(x) = Ax+b $$ donde $A$ es una matriz ortogonal, y $b\in\mathbb{R}^n$.

Usted también necesita que la medida de Lebesgue es la traducción de todos los idiomas, y para cualquier matriz invertible $T$, $$ m(T(E)) = |det(T)|m(E) $$ Tanto estas pruebas se pueden encontrar en Folland del libro (Ver Teorema 2.4.2, y 2.4.4) en Análisis Real.

Ahora uso el hecho de que si $A$ es orthgonal, a continuación, $|det(A)| = 1$