Integración compleja lema: más corto de la prueba?

Question

La línea negra es la rama de corte.

Lema

$$\lim_{\Delta\to0^+}\left(\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}\right)f(z)\ln(z-s)dz=-2\pi i\int_{pe^{i\theta}}^{qe^{i\theta}}f(t)dt$$ where $\arg(z-s)\[\theta,\theta+2\pi)$, $f$ se holomorphic en el camino de la integración.

Muchos usuarios avanzados en este sitio, el uso de este lema, sin declarar, dejando solo demostrando. Escribí una prueba aquí, pero es bastante largo.

Hay una corta prueba de este lema?

Answer 1

Acabo de encontrar una breve prueba usando integración por partes:

Deje $\hat k=i\frac{s}{|s|}$.

Deje $P=pe^{i\theta}, Q=qe^{i\theta}$.

Deje $P^{\pm}=P\pm \Delta\hat k,Q^{\pm}=Q\pm \Delta\hat k$.

Deje $F$ ser el local antiderivada de $f$. (Una antiderivada existe debido a la continuidad.)

A continuación, $$ \begin{align} &~~~~~\lim_{\Delta\to0^+}\left(\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}\right)f(z)\ln(z-s)dz \\ &=\lim_{\Delta\to0^+}\left(\int_{P^+}^{Q^+}+\int_{Q^-}^{P^-}\right)f(z)\ln(z-s)dz \\ &=\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[F(z)\ln(z-s)\bigg]_{P^+,Q^-}^{Q^+,P^-} -\lim_{\Delta\to0^+}\left(\int_{P^+}^{Q^+}+\int_{Q^-}^{P^-}\right)\frac{F(z)}{z-s}dz \\ &=\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[F(z)\ln(z-s)\bigg]_{P^+,Q^-}^{Q^+,P^-}+0 \\ &=\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[F(z)\ln(z-s)\bigg]_{P^+}^{P^-} +\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[F(z)\ln(z-s)\bigg]_{Q^-}^{Q^+} \\ &=F(P)\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[\ln(z-s)\bigg]_{P^+}^{P^-} +F(Q)\lim_{\Delta\to0^+}\bigg[\ln(z-s)\bigg]_{Q^-}^{Q^+} \\ &=F(P)(2\pi i)+F(Q)(-2\pi i) \\ &=-2\pi i\bigg(F(Q)-F(P)\bigg) \\ &=-2\pi i\int_{pe^{i\theta}}^{qe^{i\theta}}f(t)dt \end{align} $$

Q. E. D.

Esencialmente la prueba es de sólo 9 líneas de largo.