¿Hay un número infinito de números primos donde quitar cualquier número de dígitos deja un primer?

Question

Supongamos que para el propósito de esta pregunta que el número de $1$ es un número primo.

Considerar el primer número $311$. Si eliminamos una $1$ a partir del número llegamos al número$31$, que también es primo. Si nos quitan $3$ en lugar de $1$ habríamos llegado al número $11$ que es primo. Si quitamos $3$ el número de $31$ llegamos al primer número $1$ y si quitamos $1$ $31$ llegamos al número $3$ que es primo. Y si nos quitan número $1$ el número de $11$ llegamos en el primer número de $1$.

Entonces, ¿qué propiedad de este número$311$?

Tiene la propiedad de que si queremos eliminar un dígito en cualquier forma en la que queremos que nos lleguen en el primer número y que si le quitamos dos dígitos en cualquier forma en la que queremos también nosotros podamos llegar en el primer número. (Por supuesto, si el primer número había $n$ dígitos, entonces debe ser un primo lo $k$ dígitos eliminamos, para $1\le k\le n-1$.)

La pregunta sería:

Hay un número infinito de números primos, de modo que la eliminación de cualquier número de dígitos que nos deja con un número primo?

A mí me parece que lo suficientemente grande como números primos rara vez tienen la propiedad de que para cada posible la eliminación de algunos de los dígitos que nos llegará en el primer número, pero no veo ninguna razón por la que prohíbe a un número infinito de estos números primos.

Answer 1

Está claro que no podemos tener dígitos $0,4,6,8,9$ en los números primos. Puede haber a lo más un $2$ ya $22$ es compuesto, más un $3$ ya $33$ es compuesto, más un $5$ ya $55$ es compuesto, más un $7$ porque $77$ es compuesto, a lo más dos $1$ de porque $111$ es compuesto, entonces tal número puede tener a más $6$ dígitos sea un número finito de tales números primos.

Answer 2

Construir sobre las respuestas anteriores, no son exactamente veinte números, y que son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 31, 37, 53, 71, 73, 113, 131, 137, 173, 311, 317

Como pueden ser encontrados por el programa siguiente, que es lo correcto, como por la Despedida del argumento de que los siete dígitos y más números no tienen la propiedad dada:

import gmpy

def test(n):
    if (not gmpy.is_prime(n)) and n != 1:
        return False
    s = str(n)
    if len(s) == 1:
        return True
    for i in xrange(len(s)):
        if not test(int(s[:i] + s[i+1:])):
            return False
    return True

print filter(test, xrange(10000000))

Es más la pena señalar que este programa de salida de la lista es claramente exhaustiva incluso restricción de Despedida del argumento; el momento en que no podemos encontrar cualquier número de cuatro dígitos de ejemplos podemos excluir la posibilidad de cinco dígitos (o más) de los ejemplos, ya que debe incluir cuatro dígitos ejemplos como subcadenas.

Answer 3

Hay solamente finito muchos, de hecho hay ninguno con más de $3$ dígitos. Claramente nuestro primer no puede tener $0$ como un dígito.

Si nuestro primer tiene más dígitos o $4$ y $2$ o más no es igual $3$, por eliminación de uno o dos conseguimos un número mayor de $3$ con suma de dígitos divisible por $3$.

Y si hay dos o más %#% de #% podemos producir $3$.

Answer 4

Ampliación de André respuesta y Travis comentario:

En primer lugar, un 0 dígito es descartada ya que por definición no puede ser el primer dígito, y en cualquier otra posición, podemos eliminar todo lo que sigue a dejar un múltiplo de 10. Todos los cuales son compuestos desde el 10 es.

Con 0 excluidos, cada dígito debe ser el primer (1, 2, 3, 5, 7) porque podemos eliminar todo lo demás, para dejar un número de un dígito. Tenga en cuenta que si el dígito es 0 modulo 3 entonces es 3.

Con cuatro o más dígitos, dos de ellos son iguales modulo 3 por el Principio del Palomar. Tomando los dígitos del modulo 3, se debe tener:

• Dos ceros (0), es decir, dos 3s. Pero, a continuación, mediante la eliminación de todos los otros dígitos tenemos 33, que no es primo.

• Dos 1s (mod 3). Considere que cualquiera de los dos de los otros dígitos. Ya sea que ambos son 0 mod 3 (que es el caso anterior); o bien uno de ellos es un 1 (por lo que puede formar un número de tres dígitos, cuyos dígitos son todos 1 mod 3 y, por tanto, con la suma de dígitos es divisible entre 3 y, por tanto, que es compuesto); o bien uno de ellos es un 2 (en cuyo caso se puede formar un número de dos dígitos con un 1 y un 2 y, por tanto, que es compuesto).

• Dos 2s (mod 3). Igual que el anterior, con 1 y 2 se invirtió.

Así que las soluciones tienen en la mayoría de tres dígitos. Para números de tres cifras, no podemos tener un 2 o un 5 después de que el primer dígito debido a $x2$ $x5$ son divisibles por 2 o 5, respectivamente. Así dígitos después de la primera se toman de 1, 3, 7. Consideran que el primer dígito:

• 7: a Continuación, las otras dos dígitos no puede ser de 7 de nuevo, lo que nos deja combinaciones de 1 y 3. Ellos no pueden ambos ser 1 (de 3 dígitos 1 mod 3), y que no pueden ambos ser de 3 (dos 3s), dejando $713 = 23 \times 31$$731 = 17 \times 43$. No hay soluciones.

• 5: 51 y 57 están compuestos, por lo que no hay 1s o 7s, dejando 533 (que es de dos 3s). No hay soluciones.

• 3: no podemos tener otro 3, dejando combinaciones de 1 y 7. 377 tiene un repetido 7; $371 = 7 \times 53$; pero $311$ $317$ son ambas soluciones. Por lo tanto $317$ es la mayor solución.

• 2: 21 y 27 son compuestas, dejando sólo 3, cosa que no se puede repetir. No hay soluciones.

• 1: Los otros dos dígitos son combinaciones de 1, 3, 7. Todos tres dígitos no puede ser 1 mod 3 (véase más arriba), así que uno de los dígitos debe ser un 3. Pero no tanto. El otro dígito es un 1 o un 7. Esto le da $113$, $131$, $137$, $173$ que son todas las soluciones.

Considere la posibilidad de 2 dígitos, si puede ser molestado. Solo tienes que elegir los números primos que consta de dos primeros dígitos.

Finalmente, el 1 de dígitos de los números primos 1, 2, 3, 5, 7 son todas las soluciones de curso.

Answer 5

Pensé acerca de lo que sucede en las bases b distinto de b = 10.

No podemos tener el dígito cero, o cualquier dígito que es un número compuesto (por ejemplo, en hexadecimal: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15). La posible dígitos son el número 1 y los números primos p < b.

Ningún dígito distinto de 1 puede aparecer más de una vez, ya que xx = x * 11 en cada base. El dígito 1 puede aparecer en más de tres veces, ya 1111 = 11 * 101 en cada base.

Si la base b es impar, entonces un número ab incluso si a y b son ambos impares, por lo que una solución de x no puede contener dos dígitos impares. Lo mejor que podemos pedir es 2d o d2 donde d es impar el primer o 1.

De lo contrario, la base b es 6k, 6k+2, o 6k+4. Si b = 6k+4 entonces x módulo 3 es igual a la suma de los dígitos, modulo 3. Una solución de x no puede contener dígitos d = 1 (módulo 3) y los dígitos d = 2 (modulo 3). También puede contener exactamente tres dígitos d = 1 o 2 (modulo 3). El mayor posible solución tiene 3 dígitos, con un dígito = 3, y los otros dos en igualdad de condiciones (módulo 3). En este caso se incluye b = 10 (números decimales), por lo que cuatro o más dígitos soluciones son imposibles.

Si b = 6k + 2, entonces para x = ab tenemos x modulo 3 = (b - a) modulo 3. Por lo tanto, una solución de x no puede tener dos dígitos que están a la misma (modulo 3). El mayor posible solución tiene 3 dígitos diferentes, con el primer o el último dígito = 3, y las otras dos son diferentes (modulo 3).

El caso restante es b = 6k, donde podemos tener en la mayoría de tres 1s, además de uno de cada primer < b. Un dígito 2 o 3 tendría que ser el primer dígito porque d2 es divisible por 2 y d3 es divisible por 3 para cualquier dígito d. El número de dígitos en una solución de x por tanto es muy limitado, pero no puedo encontrar cualquier simple evidencia de que limita el número de dígitos.

En la práctica, si usted toma un número de cinco dígitos x, hay diez números de 2 dígitos, diez de los 3 números de un dígito, cinco de 4 dígitos y un número de 5 dígitos que tendría que ser primos, lo cual es bastante raro. Y como la base b se hace más grande, se vuelve más raro encontrar que muchos de los números primos.

PS. Escribí un programa de manera sistemática el examen de las bases b hasta cerca de 4.000. Hay miles de cuatro dígitos soluciones. He encontrado dos de cinco dígitos soluciones: En base 12, 511b7 (b = 11) es una de las principales, y la eliminación de cualquier dígito o dígitos hojas de un primer o el dígito uno. Y en base 2730, lo mismo para el número de cinco dígitos (1)(1)(1423)(829)(631).

Como se ve en la base 2730 = 2 * 3 * 5 * 7 * 13, los números en los que el último dígito es un prime se prepara con mucha más frecuencia que en otras bases.

Desde un seis dígitos solución requiere de varias de cinco dígitos soluciones (al menos cuatro si los seis dígitos de soluciones tiene tres 1s y más si hay menos de 1s) para la misma base b, y sólo he encontrado dos de cinco dígitos soluciones en total, no puede haber ninguna solución con seis dígitos, pero creo que podría ser diferente si usted mira muy grandes bases de.