cerrado,delimitado no compacto

Question

Hola me pidieron que probar que: si $S =\{ x \in \Bbb R : d(x,0) = 1 \}$ $S$ es cerrado y acotado conjunto.

El conjunto $S$ contiene sólo dos puntos: $-1,1$,(no debería ser un problema para demostrar que es cerrado y acotado), pero se vuelve muy confuso cuando iam también se le pide que muestre que $S$ no es compacto si $S$ o $B$ donde $A$ es el conjunto de todas las secuencias de $\{c_n \}$ tal que $\{c_n \}$ es acotado , $B$ es el conjunto de todas las secuencias de $\{k_n\}$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty }k_n = 0$.

Answer 1

el conjunto $S$ contiene sólo dos puntos de $-1$$1$.

Cuidado: sería cierto si $S$ es la línea real dotado de la métrica usual, pero aquí se supone que debe ser un general de la métrica (normativa, como $0$ pertenece en el espacio.

La cercanía de la siguiente manera desde la continuidad del mapa $y\mapsto d(x,y)$ donde $x$ es fijo. Es una consecuencia de la desigualdad triangular.

De hecho, esto no necesariamente es compacto. Si $S$ es el espacio de la convergentes o limitada secuencias dotado con el supremum de la norma, a continuación, $S$ contiene $T=\{e^{(k)},k\geqslant 1\}$ donde $e^{(k)}_j=1$ si $j=k$ $0$ lo contrario. Desde $d(e^{(k_1)},e^{(k_2)})=1$ si $k_1\neq k_2$, $T$ no puede ser compacto.