Acotado medible función de $[0, 1] \to \mathbb{R}$ está de acuerdo con la función de la clase de Baire $2$ fuera del conjunto de medida cero? Baire clase $1$?

Question

Podemos decir $f_n \to f$ monotonely en $[0, 1]$ si $f_n \to f$ pointwise y $f_1 \le f_2 \le \dots$ o $f_1 \ge f_2 \ge \dots$. Una función de $f$ es de la clase de Baire $0$ si $f$ es continua, y de la clase de Baire $n+1$ si se trata de una monotonía límite de funciones de Baire clase $n$. Tengo dos preguntas.

1. ¿Alguno de los acotado medible función de $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$ está de acuerdo con una función de $f$ de Baire clase $2$ fuera de un conjunto de medida cero?
2. Misma pregunta, excepto con una función de la clase de Baire $1$.

Answer 1

1. Sí. Baire clase $1$ incluye funciones de los indicadores de conjuntos cerrados, de modo que clase de Baire $2$ incluye funciones de los indicadores de $F_\sigma$'s. Ya que cada conjunto medible de acuerdo con un $F_\sigma$.e., el teorema es verdadero cuando $g = \sigma_E$. Un argumento similar se tiene para el paso de las funciones y, a continuación, por los límites de funciones de paso, que den a todos los $g$.
2. No. Deje $E \subset [1/2, 1]$ ser un conjunto de Cantor de medida positiva, y vamos a$$g(x) = \chi_E(x) - \chi_E\left(x + {1\over2}\right).$$Then $g$ can not agree a.e. with a function $f$ of Baire class $1$, because $f$ es superior o inferior semicontinuo.