El mapeo conforme mapea el disco unitario en un dominio convexo.

Question

Planteamiento del problema:

Para la cartografía conforme $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ suponemos que el dominio $f(\mathbb{D})$ es convexa. Demostrar que para $\mathbb{D}_r=\{z\in \mathbb{C}:|z|<r\}$ el dominio $f(\mathbb{D}_r)$ es convexo

Mi enfoque: Consideré la función $$g(z)=f^{-1}(tf(z)+(1-t)f(0)), t\in[0,1]$$ Esta función es holomorfa , mapea el disco unitario a sí mismo, y $g(0)=0$ . Así que podemos aplicar el lema de Schwarz. Después de utilizarlo, tenemos que $$|f^{-1}(tf(z)+(1-t)f(0))|\leq|z|$$ lo que significa que $$g(\mathbb{D}_r)\subset \mathbb{D}_r,\Longrightarrow f^{-1}(tf(z)+(1-t)f(0))\in \mathbb{D}_r \Longrightarrow tf(z)+(1-t)f(0) \in f(\mathbb{D}_r)$$ por lo que todos estos segmentos de línea pertenecen a nuestro dominio, pero para demostrar que el dominio es convexo necesito demostrar que esto ocurre para cada $f(z),f(w)$ y no sólo para $f(z),f(0).$ En esta fase consideré la función $$\phi^{-1}\circ g\circ \phi:\mathbb{D}\to \mathbb{D}, \phi(z)=\frac{z-w}{1-\bar{w}z},z,w \in \mathbb{D}$$ y volví a aplicar el lema de Schwarz e intenté demostrarlo para todos $z,w \in \mathbb{D}$ pero se atascó.

Les agradecería que me dieran la mínima pista posible y no una solución completa.

Gracias de antemano

Answer 1

Esto es Teorema del estudio . Puede encontrar una prueba, por ejemplo, en el libro de Duren Funciones univalentes . Si podemos suponer que $f$ se define y $C^1$ en el disco cerrado $\bar D$ la prueba es muy fácil: mire las imágenes $\gamma_r$ de círculos concéntricos $\partial D_r$ $\,(0<r\leq1)$ dado por $$\gamma_r:\quad t\mapsto w(t):=f\bigl(r e^{it}\bigr)\qquad(0\leq t\leq2\pi)\ .\tag{1}$$ Dicha curva $\gamma_r$ es convexo si su argumento tangente $$t\mapsto\theta(t):={\rm arg}\bigl(w'(t)\bigr)={\rm Im}\bigl(\log w'(t)\bigr)$$ es monotónicamente creciente. Por lo tanto, la condición de convexidad es $$\theta'(t)={\rm Im}\left({w''(t)\over w'(t)}\right)\geq0\ .\tag{2}$$ Si $f(D)$ Por lo tanto $\gamma_1$ es convexa, entonces $(2)$ traduce a través de $(1)$ en una condición que implique $f'$ , $f''$ en $\partial D$ . El principio de máximo garantiza que esta condición se cumple en todo momento. $D$ y esto a su vez implica que todos $\gamma_r$ son convexas.