Lusin del teorema dice que si $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ es una función medible, entonces para un determinado $\varepsilon>0$ no es una función continua tal que $\mu(\{x\in[a,b]:f(x)\neq g(x)\})<\varepsilon$. Pero me pregunto si se produce el fenómeno contrario, es decir, si por cualquier $\varepsilon>0$ no es una función continua tal que $\mu(\{x\in[a,b]:f(x)\neq g(x)\})<\varepsilon$ $f$ medibles función?
Respuesta
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Asumir que por cada $\varepsilon > 0$ existe un continuo de $g_\varepsilon: [a,b] \to \Bbb{C}$ de manera tal que el conjunto $\{x \in [a,b]: f(x) \neq g_\varepsilon (x)\}$ es medible y su medida es de menos de $\varepsilon$.
Definir $$ A_n := \bigcup_{k \geq n} \{ x \in [a,b] : f(x) \neq g_{2^{-k}}(x) \}\,. $$ Ahora $A_n \supset A_{n+1} \supset A_{n+2}...$ y $$ \mu \left( A_n \right) \leq \sum_{k=n}^\infty \mu \left( \{ x \in [a,b] : f(x) \neq g_{2^{-k}}(x) \}\right) \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1\,. $$ También $$ \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^k} = 0\,. $$ Ahora por la convergencia de la medida $$ \mu \left( \bigcap_{n \in \Bbb{N}} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = 0\,. $$ Definir $g(x) := \lim_{n \to \infty} g_{2^{-n}}(x)$ (aún no sabemos para que $x$ este límite existe). Suponga que $x \notin \bigcap_{n \in \Bbb{N}} A_n$. Entonces existe $j$ s.t. $x \notin A_j$. Así $$ x \noen \bigcup_{k \geq j} \{ x \in [a,b] : f(x) \neq g_{2^{-k}} (x) \}. $$ Por lo $g_{2^{-k}}(x) = f(x)$ todos los $k \geq j$. Por lo $g(x) = f(x)$. Por lo $g = \lim g_{2^{-n}} = f$.e. Por lo $f$ es un pointwise límite de funciones continuas de una.e. por lo $f$ es medible.
